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Lexikon der Mathematik: Polarraum

eine Inzidenzstruktur aus Punkten und Geraden, die folgende Axiome erfüllt:

  1. Ist P ein Punkt und L eine Gerade, die P nicht enthält, so ist P entweder mit genau einem oder mit allen Punkten von L verbunden.
  2. Jede Gerade enthält mindestens drei Punkte.
  3. Es gibt keinen Punkt, der mit allen anderen Punkten verbunden ist.
Hierbei heißen zwei Punkte verbunden, wenn es eine Gerade durch diese beiden Punkte gibt.

Ein Unterraum eines Polarraumes ist eine Menge von Punkten, die paarweise verbunden sind. Die Unterräume eines Polarraumes sind projektive Räume. Ist die maximale Dimension eines Unterraumes gleich n − 1, so kann man den Polarraum auch als Geometrie vom Rang n aus Punkten, Geraden, Ebenen etc. auffassen. Diese Geometrie ist ein Gebäude vom Typ Cn.

Polarräume vom Rang 2 sind verallgemeinerte Vierecke. Die Polarräume vom Rang ≥ 3 sind vollständig bekannt: Bis auf Isomorphismus besteht ein solcher Polarraum aus den Punkten, Geraden und Unterräumen einer Quadrik, einer Hermiteschen Varietät oder einer symplektischen Varietät.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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