Kriterium für charakteristische Funktionen:

Jede stetige und gerade Funktion \(\phi \,\,:\,\,{\rm{{\mathbb{R}}}}\,\to \,{{\rm{{\mathbb{R}}}}}_{0}^{+}\)mit φ(0) = 1, die auf dem Intervall [0, ∞) konvex und monoton fallend ist, ist die charakteristische Funktion einer Verteilung auf (ℝ, 𝔅(ℝ)).

Als Folgerung existieren zu jedem Intervall [−a, a], a > 0, verschiedene Verteilungen auf (ℝ, 𝔅(ℝ)), deren charakteristische Funktionen auf dem Intervall übereinstimmen.

Ein Beispiel, bei dem man mit Hilfe des Satzes leicht zeigen kann, daß es sich um eine charakteristische Funktion handelt, ist die durch \begin{eqnarray}\phi (t)=(1-|t|){1}_{[-1,\,1]}\,(t)\end{eqnarray} auf ℝ definierte Abbildung.