Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Pólya-Schoenberg-Vermutung

lautet:

Es sei S die Menge aller in 𝔼 ={z ∈ ℂ : |z| < 1}

schlichten Funktionen f mit f(0) = 0 und f′(0) = 1. Weiter sei C die Menge aller konvexen Funktionen fS, d. h., das Bildgebiet f(𝔼) ist eine konvexe Menge.

Sind f, gC, so gilt fgC, wobei fg dasHadamard-Produkt von f und g bezeichnet.

Diese Vermutung stammt aus dem Jahre 1958 und wurde 1973 von Ruscheweyh und Sheil-Small bewiesen. Bezeichnet S* die Menge aller sternförmigen Funktionen fS, d. h. das Bildgebiet f(𝔼) ist ein Sterngebiet mit Zentrum 0, so lautet eine äquivalente Formulierung: Ist fC und gS*, so ist f * gS*. Man beachte, daß CS*.

Zur Formulierung eines weiteren Resultats dieser Art sei K die Menge aller fast-konvexen Funktionen f, d. h., f ist holomorph in 𝔼, f(0) = 0, f ′(0) = 1, und es existiert eine in E schlichte Funktion h derart, daß h(𝔼) eine konvexe Menge ist und für z ∈ 𝔼 gilt \begin{eqnarray}\mathrm{Re}\,\frac{{f}^{^{\prime} }(z)}{{h}^{^{\prime} }(z)}\,\,\,\,\gt \,\,0.\end{eqnarray} Man beachte, daß h nicht notwendig in S liegen muß und die Schlichtheit von f nicht vorausgesetzt wird. Es gilt dann CS* ⊂ KS. Mit dieser Bezeichnung gilt folgender Satz von Ruscheweyh und Sheil-Small.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.