lautet:

Es sei S die Menge aller in 𝔼 ={z ∈ ℂ : |z| < 1}

schlichten Funktionen f mit f(0) = 0 und f′(0) = 1. Weiter sei C die Menge aller konvexen Funktionen f ∈ S, d. h., das Bildgebiet f(𝔼) ist eine konvexe Menge.

Sind f, g ∈ C, so gilt f ∗ g ∈ C, wobei f ∗ g das Hadamard-Produkt von f und g bezeichnet.

Diese Vermutung stammt aus dem Jahre 1958 und wurde 1973 von Ruscheweyh und Sheil-Small bewiesen. Bezeichnet S* die Menge aller sternförmigen Funktionen f ∈ S, d. h. das Bildgebiet f(𝔼) ist ein Sterngebiet mit Zentrum 0, so lautet eine äquivalente Formulierung: Ist f ∈ C und g ∈ S*, so ist f * g ∈ S*. Man beachte, daß C ⊂ S*.

Zur Formulierung eines weiteren Resultats dieser Art sei K die Menge aller fast-konvexen Funktionen f, d. h., f ist holomorph in 𝔼, f(0) = 0, f ′(0) = 1, und es existiert eine in E schlichte Funktion h derart, daß h(𝔼) eine konvexe Menge ist und für z ∈ 𝔼 gilt \begin{eqnarray}\mathrm{Re}\,\frac{{f}^{^{\prime} }(z)}{{h}^{^{\prime} }(z)}\,\,\,\,\gt \,\,0.\end{eqnarray} Man beachte, daß h nicht notwendig in S liegen muß und die Schlichtheit von f nicht vorausgesetzt wird. Es gilt dann C ⊂ S* ⊂ K ⊂ S. Mit dieser Bezeichnung gilt folgender Satz von Ruscheweyh und Sheil-Small.

Ist f ∈ C und g ∈ K, so ist f ∗ g ∈ K.