Markow-Verteilung, bei gegebenen Parametern S, W, n ∈ ℕ und c ∈ ℤ das durch die diskrete Dichte f mit \begin{eqnarray}f(k)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\,\frac{{\prod }_{i=1}^{k}\,(W\,+\,(i-1)c)\,{\prod }_{i=1}^{n-k}\,(S\,+\,(i-1)c)}{{\prod }_{i-1}^{n}\,(S\,+\,W\,+\,(i-1)c)}\end{eqnarray} eindeutig bestimmte Wahrscheinlichkeitsmaß.

Im Falle c ≥ 0 und im Falle c < 0, S, W ≥ n|c| ist der Definitionsbereich D_f von f durch D_f = { 0, …, n} gegeben, im Falle c < 0, S ≥ n|c| und \(\frac{W}{|c|}\,\in \,{\rm{{\mathbb{N}}}}\,\,\text{gilt}\,\,{D}_{f}=\{0,\,\ldots \,,\,\frac{W}{|c|}\}\) .

Als Spezialfälle der Verteilung ergeben sich für c = 0 die Binomialverteilung mit den Parametern n und \(p=\frac{W}{S\,+\,W}\) und für c = −1 die hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N = S + W, M = W und n. Ist X eine mit den Parametern S, W, n und c Pólya-verteilte Zufallsvariable, so existieren unter den genannten Forderungen an die Parameter der Erwartungswert und die Varianz, und es gilt \begin{eqnarray}E(X)=n\,\frac{W}{S\,+\,W}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}var(X)=n\,\frac{WS}{{(S\,+\,W)}^{2}}\,\frac{S\,+\,W\,+\,nc}{S\,+\,W\,+\,c}.\end{eqnarray}

Die Polya-Verteilung ergibt sich aus dem beispielsweise zur Modellierung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten vorgeschlagenen Pólyaschen Urnenmodell, das wie folgt beschrieben werden kann: In einer Urne befinden sich S schwarze und W weiße Kugeln, und es sei c eine ganze Zahl. Es werden nun sukzessive zufällig n Kugeln gezogen. Im Falle, daß c eine nichtnegative Zahl ist, werden die gezogene Kugel und c weitere Kugeln der gezogenen Farbe in die Urne zurückgelegt. Im Falle, daß c negativ ist, wird die gezogene Kugel in die Urne zurückgelegt, und es werden |c| Kugeln der gezogenen Farbe entnommen. Die Urne wird dann erneut gemischt. Die Anzahl X der gezogenen weißen Kugeln nach n Ziehungen besitzt dann eine Pólya-Verteilung mit den entsprechenden Parametern.