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Lexikon der Mathematik: Polyeder

auch Vielflächner genannt, ebenflächig begrenzter Körper.

Ein Polyeder ist eine beschränkte dreidimensionale Punktmenge des Raumes, die von endlich vielen ebenen Flächenstücken (n-Ecken) begrenzt wird. Gemeinsame Strecken verschiedener Begrenzungsflächen (Facetten) eines Polyeders werden Kanten, gemeinsame Eckpunkte von Begrenzungsflächen Ecken des Polyeders genannt. Zwischen der Anzahl der Ecken, Kanten und Begrenzungsflächen besteht ein Zusammenhang, der durch die Eulersche Polyederformel gegeben ist. Die Vereinigung aller Punkte der begrenzenden n-Ecke ist die Oberfläche des Polyeders, die gewöhnlich als Teilmenge des Polyeders aufgefaßt wird. Ein Polyeder heißt konvex, falls es zu jeweils zwei beliebigen seiner Punkte auch alle Punkte ihrer Verbindungsstrecke enthält. Sind alle Kanten eines konvexen Polyeders gleich lang, und treffen sich an jeder Polyederecke gleich viele Seitenflächen, so handelt es sich um ein reguläres Polyeder.

In algebraischer Formulierung ist ein Polyeder eine Teilmenge des ℝn, die sich in der Form \begin{eqnarray}\{x|Ax\,\le \,b\}\end{eqnarray} für A ∈ ℝm×n und b ∈ ℝm schreiben läßt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Polyeder
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Polyeder

Die Abbildung zeigt das Polyeder \begin{eqnarray}\{(x,y)\,\in \,{{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{2}\,|A\,\cdot \,\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\,\le \,b\}\end{eqnarray} im ℝ2 mit m = 3, \begin{eqnarray}A=\left(\begin{array}{rc}1 & 1\\ \begin{array}{r}-1\\ 0\end{array} & \begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\end{array}\right)\,,\,\,\,\,b=\left(\begin{array}{c}2\\ \begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}\end{array}\right).\end{eqnarray}

Ein konvexes Polyeder kann auch als beschränkte Durchschnittsmenge endlich vieler abgeschlossener Halbräume definiert werden.

Eine Verallgemeinerung des Polyeders ist das n-dimensionale Polytop.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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