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Lexikon der Mathematik: Polygonal-Zahlen

durch ein spezielles Bildungsgesetz definierte natürliche Zahlen.

Stellt man Zahlen durch ausgelegte Steinchen dar, so kann man aus ihnen Figuren legen (insbesondere Polygone), und aus solchen Figuren auch Sätze ablesen. Zu einer gegebenen Zahl p ≥ 3 konstruiert man die p-Eckszahlen wie folgt: Die erste p-Eckszahl ist 1, die zweite ist die Anzahl der Ecken eines p-Ecks, also p. Um die dritte zu erhalten, vergrößert man dieses p-Eck durch eine weitere Linie mit aus 1 + 2(p − 2) weiteren Punkten. Ein instruktives Beispiel geben die Pentagonal-Zahlen.

Nach Diophant kannte bereits Hypsikles (2. Jahrhundert v.Chr.) das Bildungsgesetz für beliebige Polygonalzahlen, nach dem die n-te p-Eckszahl durch \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(1\,+\,k(p-2))=\frac{n}{2}\,(2\,+\,(p-2)\,(n-1)),\end{eqnarray} gegeben ist. Für p = 3 erhält man die Dreieckszahlen, für p = 5 die Pentagonal-Zahlen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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