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Lexikon der Mathematik: Polynomapproximation

im Sinne der Approximationstheorie als Synonym zum Begriff der polynomialen Approximation benutzte Kurzbezeichung für die beste Approximation mit Polynomen.

Polynomapproximation im Sinne der Funktionentheorie behandelt folgende Fragestellung: Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und f : D → ℂ eine Funktion. Gibt es eine Folge (pn) von Polynomen, die in D kompakt konvergent (kompakt konvergente Folge) gegen f ist? Eine notwendige Bedingung hierfür ist offensichtlich, daß f ∈ 𝒪(D) wobei 𝒪(D) die Menge aller in Dholomorphen Funktionen bezeichnet. Falls jede Funktion f ∈ 𝒪(D) in obigem Sinne durch Polynome approximierbar sein soll, so muß D einfach zusammenhängend sein, d. h. jede Zusammenhangskomponente von D ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Der kleine Satz von Runge (Runge, kleiner Satz von) zeigt, daß unter diesen Voraussetzungen tatsächlich eine Folge (pn) von Polynomen mit der obigen Eigenschaft existiert.

Weitaus schwieriger ist folgende allgemeinere Fragestellung: Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und f : K → ℂ eine Funktion. Gibt es eine Folge (pn) von Polynomen, die auf K gleichmäßig gegen f konvergiert? Eine notwendige Bedingung hierfür ist offensichtlich, daß fA(K), wobei A(K) die Menge aller auf K stetigen und in K holomorphen Funktionen bezeichnet. Dabei ist K die Menge der inneren Punkte von K. Im Fall \({K}^{\circ }\ =\ \emptyset\) entfällt natürlich die Forderung an die Holomorphie von f. Falls jede Funktion fA(K) gleichmäßig durch Polynome approximierbar sein soll, so muß ℂ \ K zusammenhängend sein. Der Satz von Mergelyan (Mergelyan, Satz von) zeigt, daß unter diesen Voraussetzungen tatsächlich jedes fA(K) gleichmäßig auf K durch Polynome approximierbar ist.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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