zunächst ganz allgemein eine Folge von Polynomen, meist jedoch, so etwa in der Kombinatorik, eine solche Folge, bei der noch der Grad der Polynome mit ansteigendem Folgenindex anwächst.

Bezeichnet man mit ℝ[x] die Menge aller reellen Polynome in der Variablen x, und faßt man ℝ[x] als unendlichdimensionalen Vektorraum über ℝ mit der gewöhnlichen Addition von Polynomen und Skalarmultiplikation als Operationen auf, so ist eine Folge {p_n ∈ ℝ[x], n ∈ ℕ₀} eine Polynomfolge, falls grad p_n = n für alle n ∈ ℕ₀. Zusätzlich wird hierbei vereinbart, daß der Grad des Nullpolynoms −1 ist. Die wichtigsten Polynomfolgen sind die drei fundamentalen Polynomfolgen von Zählfunktionen: Die Monome (Standardpolynome), die fallenden Faktoriellen und die steigenden Faktoriellen, sowie deren Verallgemeinerung, die Binomialfolgen.

Da die Grade in einer Polynomfolge strikt ansteigen, ergibt sich unmittelbar der Hauptsatz über Polynomfolgen:

Jede Polynomfolge {p_n ∈ ℝ[x], n ∈ ℕ₀} bildet eine Basis von ℝ[x].

Hieraus folgt, daß für zwei Polynomfolgen {p_n ∈ ℝ[x], n ∈ ℕ₀} und {q_n ∈ ℝ[x], n ∈ ℕ₀} jedes q_n als Linearkombination der p_i mit i ≤ n, und jedes p_n als Linearkombination der q_i mit i ≤ n dargestellt werden kann. Es gibt also eindeutige Koeffizienten c_n,i und d_n,i so, daß \begin{eqnarray}{q}_{n}=\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{c}_{n,i}{p}_{{}^{i}}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{p}_{n}=\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{d}_{n,i}{q}_{{}^{i}}.\end{eqnarray} Die Zahlen c_n,i und d_n,i heißen Verbindungskoeffizienten von {p_n} nach {q_n} bzw. umgekehrt. Für beliebige Polynomfolgen ist die Bestimmung der Verbindungskoeffizienten eines der schwierigsten Probleme der Kombinatorik. Für Binomialfolgen gibt es jedoch genaue Ergebnisse.