Polydisk, Verallgemeinerung des anschaulichen Zylinderbegriffs.

Ein Polyzylinder um a ∈ ℂⁿ, mit Polyradius \(\varrho \ =\ ({\varrho }_{1},\ \mathrm{\ldots },{\varrho }_{n})\ \in \ {({{\rm{{\mathbb{R}}}}}_{+}^{* })}^{n}\) ist definiert als \begin{eqnarray}P(a;\ \varrho )\ :=\ \{z\ \in \ {{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{n};\ |{z}_{j}\ -\ {a}_{j}|\ \lt \ {\varrho }_{j},\ 1\ \le \ j\ \le \ n\}.\end{eqnarray} Übliche Bezeichnungen sind P (ϱ) := P (0; ϱ), P (a; z) := P (a; |z₁|, …, |z_n|) für z ∈ (ℂ*)ⁿ und P (a; r) := P (a; r,…, r) für \(r\ \in \ {{\rm{{\mathbb{R}}}}}_{+}^{* }\). \begin{eqnarray}T & = & T\ (P\ (a;\ \varrho ))\\ & := & \{z\ \in \ {{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{n};\ |{z}_{j}\ -\ {a}_{j}|\ =\ {\varrho }_{j},\ 1\ \le \ j\ \le \ n\}\end{eqnarray} heißt Bestimmungsfläche von P = P (a; ϱ). P ist ein konvexes Gebiet im ℂⁿ. Die Bestimmungsfläche T ist eine Teilmenge des topologischen Randes ∂P von P. T ist ein n-dimensionaler Torus, d. h. ein kartesisches Produkt von n Kreisen.

Eine wichtige Anwendung des Polyzylinders und seiner zugehörigen Bestimmungsfläche findet sich in der Cauchyschen Integralformel in n Variablen. Diese Formel zeigt, daß die Werte einer beliebigen holomorphen Funktion auf einem Polyzylinder P = P (a; ϱ) bereits durch ihre Werte auf T (P) bestimmt sind.