symmetrische reelle (n × n)-Matrix A mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}{v}^{t}Av\ \gt \ 0\end{eqnarray} für alle v ≠ 0 ∈ ℝⁿ.

Die durch A vermittelte Bilinearform auf dem ℝⁿ ist also positiv definit ist. Mit A, A₁ und A₂ und positivem α sind auch αA und A₁ + A₂ positiv definit. Positiv definite Matrizen sind stets regulär.

Ist B eine reelle reguläre (n × n)-Matrix, so ist A := B^tB positiv definit (B^t bezeichnet die zu B transponierte Matrix); jede positiv definite Matrix ist von dieser Form. Jede positiv definite Matrix A läßt sich auch schreiben als A = LL^t, wobei L eine untere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonaleinträgen ist. Eine solche Zerlegung wird als Cholesky-Zerlegung bezeichnet.

Eine symmetrische reelle (n × n)-Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind; dies ist äquivalent dazu, daß alle n Hauptminoren von A positiv sind. (Der r-te Hauptminor (1 ≤ r ≤ n) einer (n × n)-Matrix A ist die Determinante der Matrix, die man durch Streichen der letzten r Zeilen und r Spalten von A erhält.)

Gilt in (1) anstelle von > nur ≥, so spricht man von einer positiv semidefiniten Matrix.