Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Potentialtheorie

Analyse der Potentialfunktionen, welche Lösungen sind der Potentialgleichung Δu = 0, der einfachsten Form einer elliptischen partiellen Differentialgleichung. Physikalisch beschreiben solche Gleichungen statische Zustände, die auch Potentiale genannt werden.

Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion u(x) in einem Gebiet Ω des ℝ3 ist genau dann eine Potentialfunktion, wenn \begin{eqnarray}\displaystyle \int \displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }\frac{\partial u}{\partial n}d\sigma =0\end{eqnarray} für jede geschlossene Fläche Γ innerhalb von Ω ist. Dabei bezeichnet n den äußeren Normalenvektor auf Γ und \begin{eqnarray}\frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u\cdot n\end{eqnarray} die Normalenableitung von u. Für jeden Punkt x0 innerhalb der Fläche Γ gilt ferner die Greensche Darstellungsformel \begin{eqnarray}u({x}_{0})=\frac{1}{4\pi }\displaystyle \int \displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }\left(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial n}-u\frac{\partial (1/r)}{\partial n}\right)d\sigma,\end{eqnarray} wobei r den euklidischen Abstand eines Punktes x ∈ Γ von x0 bezeichnet. Eine Potentialfunktion ist daher im Innern einer geschlossenen Fläche eindeutig durch ihre Werte und Normalenableitung auf der Fläche bestimmt. Speziell für eine Kugeloberfläche Γ mit Mittelpunkt x0 und Radius R gilt daher die Gaußsche Mittelwerteigenschaft \begin{eqnarray}u({x}_{0})=\frac{1}{4\pi {R}^{2}}\displaystyle \int \displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }ud\sigma.\end{eqnarray} Jede Potentialfunktion in einem Gebiet Ω mit Rand Ω, die in Ω ∪ Ω stetig, aber nicht konstant ist, nimmt ihr Maximum und Minimum auf Ω an. Man bezeichnet diese Eigenschaft als Maximum-Minimum-Prinzip harmonischer Funktionen.

Die zweidimensionale Potentialgleichung und deren Lösung stehen in engem Zusammenhang mit der Funktionentheorie. Realteil u(x, y) und Imaginärteil v(x, y) einer analytischen Funktion f(z) = u(x, y) + iv(v, y) der Variablen z = x + iy sind Potentialfunktionen. Solche Potentialfunktion heißen zueinander konjugiert.

Man vergleiche hierzu den Eintrag harmonische Funktion.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos