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Lexikon der Mathematik: Potenz einer Matrix

durch An := An−1A und A0 := I (Einheitsmatrix) definiertes n-faches Produkt einer quadratischen Matrix A über dem Körper 𝕂 mit sich selbst, wobei n ∈ ℕ.

Für reguläres A sind auch Potenzen mit negativem Exponenten erklärt: \begin{eqnarray}{A}^{-n} & := & {({A}^{-1})}^{n},\end{eqnarray} wobei A−1 die zu A inverse Matrix bezeichnet.

Es gilt: \begin{eqnarray}{A}^{n}{A}^{m}={A}^{m}{A}^{n}={A}^{n+m}\end{eqnarray} für nichtnegative n und m, und, falls A regulär ist, für beliebige ganze n und m.

Ist \(f(x):=\displaystyle {\Sigma }_{i=0}^{n}{a}_{i}{x}^{i}\) ein Polynom in der Unbestimmten x über dem Körper 𝕂, so ist der Ausdruck f(A) definiert als \begin{eqnarray}{a}_{0}I+{a}_{1}A+\ldots +{a}_{n}{A}^{n}.\end{eqnarray} Ergibt f(A) die Nullmatrix, so wird A auch als Wurzel oder Nullstelle von f bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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