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Lexikon der Mathematik: Potenz

durch wiederholte Multiplikation eines Elements mit sich selbst gebildeter Wert.

Hat man eine Menge X mit einer assoziativen ‚Multiplikation‘ · : X × XX, so definiert man für xX und p ∈ ℕ \begin{eqnarray}{x}^{p}:=\displaystyle \prod _{k=1}^{p}x:=\mathop{\overbrace{x.\ \mathrm{\ldots }\.x}}\limits^{p\ \text{Exemplare von}\ x}\end{eqnarray} oder rekursiv \begin{eqnarray}{x}^{1} & := & x,\\ {x}^{p+1} & := & x\cdot {x}^{p}.\end{eqnarray} Für xX und p, q ∈ ℕ gilt \begin{eqnarray}{x}^{p+q}={x}^{p}\cdot {x}^{q}.\end{eqnarray} Ist die Multiplikation zudem kommutativ, so hat man \begin{eqnarray}{(xy)}^{p}={x}^{p}\cdot {y}^{p}\end{eqnarray} für x, yX und p ∈ ℕ. Falls es ein bzgl. der Multiplikation neutrales Element eX gibt, definiert man ferner x0 := e. Gibt es darüber hinaus ein inverses Element zu x bzgl. der Multiplikation, also ein yX mit x · y = y · x = e, so setzt man xp := yp. Insbesondere ist dann x−1 das inverse Element zu x.

Beispiele sind etwa Potenzen von Zahlen oder Matrizen (Potenz einer Matrix) oder durch Iteration von Funktionen gebildete Potenzen. Die Potenzbildung positiver Zahlen läßt sich erweitern zur Potenzfunktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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