Lexikon der Mathematik: Potenzfunktion
die zu einer Zahl p ∈ ℝ, dem Exponenten, durch
Diese Definition ist konsistent mit der Definition der Potenzen xk für k ∈ ℤ durch iterierte Multiplikation. Aus der Differenzierbarkeit von exp und ln und der Kettenregel folgt die Differenzierbarkeit von potp, und mit exp′ = exp und ln′ \(x=\frac{1}{x}\) erhält man (xp)′ = pxp−1, d. h. pot′p = p potp−1. Daher ist die Potenzfunktion zum Exponenten p streng antiton für p < 0, konstant 1 für p = 0 und streng isoton für p < 0. Für p < 0 gilt xp → ∞ für x ↓ 0 und xp → 0 für x → ∞, für p > 0 hat man xp → 0 für x ↓ 0 und xp → ∞ für x → ∞. Insbesondere ist potp für p ≠ 0 bijektiv.
Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion erhält man für p, q ∈ ℝ und x, y ∈ (0, ∞) u. a. die Identitäten (xy)p = xp yp, (1/x)p = 1/xp = x−p, xpxq = xp+q und (xp)q = xpq, also für a ∈ (0, ∞):
Die Potenzfunktion läßt sich auch für komplexe Argumente definieren. Dies entweder als mengentheoretische Funktion oder, nach Wahl etwa des Hauptzweigs der Logarithmusfunktion, wie oben.
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