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Lexikon der Mathematik: Potenzfunktion

die zu einer Zahl p ∈ ℝ, dem Exponenten, durch \begin{eqnarray}{x}^{p}={\text{pot}}_{p}(x)=\exp (p\,\mathrm{ln}\,x) & (x\in (0,\infty ))\end{eqnarray} definierte Funktion potp : (0, ∞) → (0, ∞).

Diese Definition ist konsistent mit der Definition der Potenzen xk für k ∈ ℤ durch iterierte Multiplikation. Aus der Differenzierbarkeit von exp und ln und der Kettenregel folgt die Differenzierbarkeit von potp, und mit exp′ = exp und ln′ \(x=\frac{1}{x}\) erhält man (xp)′ = pxp−1, d. h. pot′p = p potp−1. Daher ist die Potenzfunktion zum Exponenten p streng antiton für p < 0, konstant 1 für p = 0 und streng isoton für p < 0. Für p < 0 gilt xp → ∞ für x ↓ 0 und xp → 0 für x → ∞, für p > 0 hat man xp → 0 für x ↓ 0 und xp → ∞ für x → ∞. Insbesondere ist potp für p ≠ 0 bijektiv.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Potenzfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Verlauf der Potenzfunktion für verschiedene Werte des Exponenten.

Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion erhält man für p, q ∈ ℝ und x, y ∈ (0, ∞) u. a. die Identitäten (xy)p = xp yp, (1/x)p = 1/xp = xp, xpxq = xp+q und (xp)q = xpq, also für a ∈ (0, ∞): \begin{eqnarray}{x}^{p}=a\iff {x}^{p}={a}^{\frac{1}{p}}\end{eqnarray} Insbesondere gilt \({x}^{\frac{1}{k}}=\sqrt[k]{x}\) für k ∈ ℕ, d. h. die Potenzfunktion zum Exponenten \(\frac{1}{k}\) ist gerade die k-te Wurzelfunktion.

Die Potenzfunktion läßt sich auch für komplexe Argumente definieren. Dies entweder als mengentheoretische Funktion oder, nach Wahl etwa des Hauptzweigs der Logarithmusfunktion, wie oben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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