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Lexikon der Mathematik: Primideal

Ideal P mit der Eigenschaft, daß aus x · yP und xP folgt: yP.

Ein Ideal P im Ring R ist genau dann ein Primideal, wenn der Faktorring R/P ein Integritätsbereich ist.

Ein Maximalideal ist ein Primideal.

Im Ring ℤ der ganzen Zahlen sind die Primideale diejenigen Ideale, die von Primzahlen erzeugt sind.

In jedem Ring R gibt es Primideale, und der Durchschnitt aller Primideale ist die Menge der nilpotenten Elemente des Ringes.

Wenn R als Ring endlich erzeugt über einem Körper k ist, und K ein Erweiterungskörper von k, der algebraisch abgeschlossen ist und eine unendliche, über k algebraisch unabhängige Menge enthält, ist jedes Primideal Kern eines Algebren-Homomorphismus λ : RK. Aus diesem Grund hat sich auch die Bezeichnung Spektrum Spec(R) für die Menge aller Primideale von R eingebürgert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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