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Lexikon der Mathematik: Primzahlverteilung

die Verteilung der Primzahlen innerhalb der geordneten Menge der natürlichen Zahlen.

Edmund Landau beginnt das Vorwort zu seinem einflußreichen „Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen“ (1909) wie folgt:

„Die Lehre von der Verteilung der Primzahlen ist als eines der allerwichtigsten Kapitel der mathematischen Wissenschaften anzusehen; sind doch die Primzahlen die Bausteine, aus denen die ganzen Zahlen zusammengesetzt sind, und die ganzen Zahlen das Fundament, auf dem sich nach Hinzufügen der nicht ganzen Zahlen und der Funktionen das Gebäude der Analysis erhoben hat. … Manches wichtige Problem harrt noch heute seiner Erledigung. “ Insbesondere der letzte Satz ist heute noch unverändert gültig, wenn auch zu fast allen Ergebnissen, die Landau in seinem Buch beschreibt, mittlerweile Verschärfungen bewiesen wurden.

Die Verteilung der Primzahlen ist schon sehr merkwürdig und damit interessant. So zeigt die Verteilung von Primzahlen in (relativ) kurzen Intervallen eine gewisse „Zufälligkeit“, während andererseits beliebig lange Intervalle existieren, die keine Primzahl enthalten. Bernhard Riemann setzte sich in seiner Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“ (1859) zum Ziel, die Verteilung der Primzahlen mit analytischen Methoden zu bestimmen, stieß dabei auf Riemannsche ζ-Funktion und formulierte die Riemannsche Vermutung. Basierend auf den Riemannschen Ideen gelang 1896 der Beweis des Primzahlsatzes, mit dem man für große Zahlen x mit immer größerer relativer Genauigkeit sagen kann, wieviele Primzahlen ≤ x es gibt. Will man diese Anzahlen noch genauer wissen, so kommt man schnell in einen Bereich mathematischer Fragestellungen mit zahlreichen offenen Problemen, z. B. den Goldbach-Problemen oder Fragen über Primzahlzwillinge.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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