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Lexikon der Mathematik: Primzahlzwillinge

Paare natürlicher Zahlen der Form (p, p + 2), wobei sowohl p als auch p + 2 eine Primzahl ist (da alle Primzahlen ≠ 2 ungerade sind, haben zwei aufeinanderfolgende Primzahlen ≠ 2 mindestens den Abstand 2).

Beispiele für Primzahlzwillinge: \begin{eqnarray}(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(37,39),\ldots \end{eqnarray}

Von drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen p, p + 2, p + 4 ist stets eine durch 3 teilbar; nimmt man noch p + 6 hinzu, so ist es möglich, daß in der Menge {p, p + 2, p + 4, p + 6} drei Primzahlen sind. Ein Tripel aus drei Primzahlen p < q < r nennt man einen Primzahldrilling, wenn r = p + 6 gilt, z.B.: \begin{eqnarray}(5,7,11),\ldots (101,103,107),\ldots \end{eqnarray}

Weiter nennt man ein Quadrupel der Form \begin{eqnarray}(p,p+2,p+6,p+8)\end{eqnarray}

einen Primzahlvierling, wenn (p, p + 2) und (p + 6, p + 8) Primzahlzwillinge sind. \begin{eqnarray}\begin{array}{l}(5,7,11,13),(11,13,17,19),\\ (101,103,107,109),(191,193,197,199)\end{array}\end{eqnarray}

sind die ersten vier Primzahlvierlinge.

Clement bewies 1949 folgende Charakterisierung:

Für eine natürliche Zahl n ≥ 2 sind äquivalent:

(a) Das Paar (n, n + 2) ist ein Primzahlzwilling.

(b) 4((n − 1)! + 1) + n ≡ 0 mod n(n + 2).

Das mathematische Interesse an Primzahlzwillingen kommt vor allem aus Fragen über die Primzahlverteilung: Wie viele Primzahlzwillinge gibt es, und wie dicht liegen diese? Die noch unbewiesene Primzahlzwillingsvermutung besagt, es gebe unendlich viele Primzahlzwillinge. Ein großer Fortschritt in dieser Richtung ist ein Satz von Chen (1966), der mit Chens Resultat zu den Goldbach-Problemen zusammenhängt:

Es gibt unendlich viele Primzahlen p mit der Eigenschaft, daß p + 2 entweder selbst eine Primzahl oder ein Produkt von zwei Primzahlen ist.

In einem gewissen Sinn liegen die Primzahlzwillinge recht dünn: Brun bewies 1919, daß die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{(p,p+2)\,\text{Primzahlzwilling}}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}\right)\end{eqnarray}

konvergiert, im Gegensatz zur Reihe aus den Kehrwerten aller Primzahlen (Euler-Produkt).

Man bezeichnet mit π2 (x) die Anzahl der Primzahlzwillinge (p, p + 2) mit px (bei manchen Autoren: p + 2 ≤ x). Brun gelang es 1920, zu zeigen, daß \begin{eqnarray}{\pi }_{2}(x)\lt C\cdot \frac{x}{{(\mathrm{log}x)}^{2}}\end{eqnarray}

für genügend große s und die Konstante C = 100 gilt. Mit Hilfe von ausgefeilten Siebmethoden ist es in der Zwischenzeit gelungen, die Ungleichung für wesentlich kleinere Konstanten zu beweisen.

Die Primzahlzwillingskonstante ist der Grenzwert des unendlichen Produkts \begin{eqnarray}{C}_{2}=\displaystyle \prod _{p\gt 2\,\text{Primzahl}}\left(1-\frac{1}{{(p-1)}^{2}}\right).\end{eqnarray}

Mehrere Autoren bewiesen Abschätzungen der Form \begin{eqnarray}{\pi }_{2}(x)\le {C}_{1}{C}_{2}\frac{x}{{(\mathrm{log}x)}^{2}}\left(1+O\left(\frac{\mathrm{log}\mathrm{log}x}{\mathrm{log}x}\right)\right),\end{eqnarray}

wobei die Konstante C1 immer weiter verkleinert wurde; Bombieri, Friedlander und Iwaniec zeigten 1986 die Ungleichung mit C1 = 7 + ϵ; Hardy und Littlewood vermuteten C1 = 2. Sollte jedoch die Primzahlzwillingsvermutung falsch sein, so bliebe π2 (x) für alle x > 0 beschränkt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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