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Lexikon der Mathematik: Produkt von σ-Algebren

kleinste σ-Algebra im Produktraum.

Es sei ((Ωi, 𝒜i)|i ∈ \({{\mathcal{I}}}\))) eine Familie von σ-Algebren und πi : ×j∈ℐΩj → Ωi, definiert durch \begin{eqnarray}{\pi }_{i}(({\omega }_{j}|j\in {\mathcal I} ))={\omega }_{i},\end{eqnarray}

die Projektion des kartesischen Produktes ×j∈ℐΩj auf Ωi.

Dann ist \({\pi }_{i}^{-1}({{\mathcal{A}}}_{i})\) die von πi in ×i∈IΩi erzeugte σ-Algebra, und \begin{eqnarray}{\otimes }_{i\in {\mathcal I} }{{\mathcal{A}}}_{i}:=\sigma \left(\displaystyle \mathop{\bigcup }\limits_{i\in {\mathcal I} }{\pi }_{i}^{-1}({{\mathcal{A}}}_{i})\right)\end{eqnarray}

ist die kleinste σ-Algebra in ×i∈ℐΩi, für die sämtlichen Projektionen πi meßbare Abbildungen sind, und heißt das Produkt der σ-Algebren (𝒜i |i ∈ \({{\mathcal{I}}}\)) oder auch Produkt-σ-Algebra.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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