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Lexikon der Mathematik: Produktraum

ein topologischer Raum, der als kartesisches Produkt beliebig vieler gegebener topologischer Räume entsteht.

Es seien I eine beliebige Indexmenge und Ti, iI, topologische Räume. Dann kann man eine Topologie auf dem kartesischen Produkt ΠiI Ti definieren, in der die Mengen ΠiI Ui, für die Ui = Ti ist für alle bis auf endlich viele iI, eine Basis bilden. Diese Produkttopologie entspricht der Initialtopologie auf ΠiI Ti bezüglich der Projektionen πi auf die Räume Ti.

Sind abzählbar viele metrische Räume Mn mit den zugehörigen Metriken dn gegeben, so ist das kartesische Produkt \(\displaystyle {\prod }_{n=1}^{\infty }{M}_{n}\), versehen mit der Produkttopologie, wieder ein metrischer Raum mit der Metrik \begin{eqnarray}d(({x}_{n}),({y}_{n}))=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}\cdot \min (1,{d}_{n}({x}_{n},{y}_{n})).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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