Lexikon der Mathematik: Produkttopologie
Standardtopologie auf dem kartesischen Produkt von topologischen Räumen.
Ist I eine Indexmenge und (Xi, 𝒪i) für jedes i ∈ I ein topologischer Raum, so ist die Produkttopologie 𝒪 auf X = Πi∈I Xi wie folgt definiert: Eine Teilmenge O ⊆ X heiße offen, wenn sie Vereinigung von Mengen des Typs Πi∈I Oi ist, wobei jedes Oi offen in Xi und bis auf endlich viele Indizes sogar Oi = Xi gilt. Die Produkttopologie ist die gröbste Topologie, welche die Projektionen
stetig macht.
Nach dem Satz von Tychonow ist (X, 𝒪) kompakt, wenn alle (Xi, 𝒪i) kompakt sind.
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