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Lexikon der Mathematik: Produkttopologie

Standardtopologie auf dem kartesischen Produkt von topologischen Räumen.

Ist I eine Indexmenge und (Xi, 𝒪i) für jedes iI ein topologischer Raum, so ist die Produkttopologie 𝒪 auf X = ΠiI Xi wie folgt definiert: Eine Teilmenge OX heiße offen, wenn sie Vereinigung von Mengen des Typs ΠiI Oi ist, wobei jedes Oi offen in Xi und bis auf endlich viele Indizes sogar Oi = Xi gilt. Die Produkttopologie ist die gröbste Topologie, welche die Projektionen \begin{eqnarray}{p}_{i}:\displaystyle \prod _{i\in I}{X}_{i}\to {X}_{i}\end{eqnarray}

stetig macht.

Nach dem Satz von Tychonow ist (X, 𝒪) kompakt, wenn alle (Xi, 𝒪i) kompakt sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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