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Lexikon der Mathematik: Projektion

in einzelnen Teilgebieten der Mathematik Bezeichnung für verschiedenartige Abbildungen – einerseits solche, deren zweimalige Hintereinanderausführung wieder dieselbe Abbildung ergibt, und andererseits für Abbildungen von ‚zusammengesetzen Objekten‘ auf ihre, Bestandteile‘.

Beispiele sind die folgenden: In der Linearen Algebra betrachtet man Projektionen eines Vektorraumes V : Dies ist die durch (1) definierte Abbildung P : VU von V in den Unterraum UV bzgl. der direkten Summenzerlegung V = UW : \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}P(\upsilon )=P(u+w):=u. & (1)\end{array}\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet w das zu uU eindeutig bestimmte Element aus W mit v = u + w (Projektor von V längs (parallel zu) W auf U).

Für eine derartige Projektion P gilt stets P(u) = u für alle uU, und diese Eigenschaft kann auch als Definition einer Projektion dienen.

In der projektiven algebraischen Geometrie meint man mit dem Begriff Projektion meist die Zentralprojektion mit einem linearen Unterraum D ⊂ ℙ(E) (projektiver Raum) als Zentrum.

Wenn D = ℙ(E/F), so ist dies die Abbildung \begin{eqnarray}{\pi }_{D}:{\mathbb{P}}(E)\backslash D\to {\mathbb{P}}(F),\end{eqnarray}

die jedem H ⊂ ℙ(E) \ D (d. h. jedem Unterraum H von E der Kodimension 1, der F nicht enthält) den Unterraum HFF zuordnet. Dies ist ein Morphismus algebraischer Varietäten. Ist T0, …, Tn Basis von E und L0 (T), …, Lq(T) Basis von F, so drückt sich die Abbildung in homogenen Koordinaten durch \begin{eqnarray}{\pi }_{D}({a}_{0}:\cdots, {a}_{n})=({L}_{0}(a):\cdots :{L}_{q}(a))\end{eqnarray}

aus.

Ebenso bezeichnet man die Einschränkung von πD auf quasiprojektive Schemata X ⊂ ℙ(E) \ D als Zentralprojektion πD : X → ℙ(F) = ℙq.

Wenn X projektiv ist, so ist dies ein endlicher Morphismus (als Folge des Hilbertschen Nullstellensatzes). Auf diese Weise erhält man, wenn der Grundkörper unendlich ist, den Noetherschen Normalisierungssatz.

Ist schließlich A = A1 × · · · × Ar ein Produkt von Mengen, so heißt die Abbildung (a1, …, ar) ↦ aj die Projektion auf den j-ten Faktor.

Siehe auch Parallelprojektion, Zentralprojektion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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