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Lexikon der Mathematik: Projektionssatz für Hilberträume

zentraler Satz der Hilbertraum-Theorie über die Existenz bester approximierender Elemente in einer konvexen Menge eines Hilbertraums.

Sei H ein Hilbertraum und KH abgeschlossen, konvex und nicht leer. Zu jedem xH existiert dann ein eindeutig bestimmtes Element P(x) ∈ K mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}||x-P(x)||=\inf \{||x-y||:y\in K\}.\end{eqnarray}

Auf diese Weise wird eine Abbildung P : HH mit dem Bild P(H) = K definiert, die Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten 1 ist.

Im Fall eines abgeschlossenen Unterraums K von H ist P linear und eine orthogonale Projektion, der Kern von P ist das orthogonale Komplement K.

Der Projektionssatz wird zum Beispiel benutzt, um (schwache) Lösungen des Dirichlet-Problems zu finden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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