Lexikon der Mathematik: Projektionssatz für Hilberträume
zentraler Satz der Hilbertraum-Theorie über die Existenz bester approximierender Elemente in einer konvexen Menge eines Hilbertraums.
Sei H ein Hilbertraum und K ⊂ H abgeschlossen, konvex und nicht leer. Zu jedem x ∈ H existiert dann ein eindeutig bestimmtes Element P(x) ∈ K mit der Eigenschaft
Auf diese Weise wird eine Abbildung P : H → H mit dem Bild P(H) = K definiert, die Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten 1 ist.
Im Fall eines abgeschlossenen Unterraums K von H ist P linear und eine orthogonale Projektion, der Kern von P ist das orthogonale Komplement K⊥.
Der Projektionssatz wird zum Beispiel benutzt, um (schwache) Lösungen des Dirichlet-Problems zu finden.
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