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Lexikon der Mathematik: projektive Ebene

eine Inzidenzstruktur aus Punkten und Geraden, die die folgenden Axiome erfüllt:

  • Durch je zwei Punkte geht genau eine Gerade.
  • Je zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
  • Es gibt vier Punkte, von denen keine drei kollinear sind.

Projektive Ebenen lassen sich aus affinen Ebenen gewinnen, indem man unendliche Punkte hinzufügt. Entfernt man umgekehrt eine Gerade samt ihrer Punkte aus einer projektiven Ebene, so erhält man eine affine Ebene.

Ist V ein dreidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper K, ist 𝒫 die Menge der eindimensionalen Unterräume von V und \({{\mathcal{L}}}\) die Menge der zweidimensionalen Unterräume von V, so ist (mit dem „Enthaltensein“ als Inzidenz) (𝒫, \({{\mathcal{L}}}\), I) eine projektive Ebene. Die auf diese Art erhaltenen projektiven Ebenen sind genau diejenigen Ebenen, in denen der Satz von Desargues gilt. Ist K sogar ein Körper, so erhält man eine projektive Ebene, in der der Satz von Pappos gilt.

Ist die Menge der Punkte einer projektiven Ebene endlich, so spricht man von einer endlichen projektiven Ebene. In einer solchen enthält jede Gerade die gleiche Anzahl q + 1 von Punkten. Die Zahl q heißt Ordnung der projektiven Ebene. Eine wichtige Klasse endlicher projektiver Ebenen erhält man aus Translationsebenen.

Siehe auch projektive Geometrie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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