Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Es sei S = S₀ ⊕ S₁ ⊕ S₂ ⊕ · · · ein graduierter kommutativer Ring. Diesem ist auf folgende Weise ein Schema Proj(S) und ein Morphismus Proj(S) → Spec(S₀) zugeordnet: Sei S₊ = S₁ + S₂ + · · ·. Die zugrundeliegende Punktmenge ist die Menge aller homogenen Primideale 𝔭 mit S₊ ⊈ 𝔭. Für jedes homogene Ideal I sei \begin{eqnarray}{V}_{+}(I)=\{{\mathfrak{p}}\in \text{Proj}(S)|{\mathfrak{p}}\supseteq I\}.\end{eqnarray}

Ist {I_α} eine Familie homogener Ideale, so ist \begin{eqnarray}{V}_{+}\left(\displaystyle \sum _{\alpha }{I}_{\alpha }\right)=\displaystyle \mathop{\bigcap }\limits_{\alpha }({V}_{+}({I}_{\alpha }))\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{V}_{+}({I}_{1}\cap {I}_{2})={V}_{+}({I}_{1})\cup {V}_{+}({I}_{2}).\end{eqnarray}

Die Topologie auf Proj(S) ist diejenige, in der die Mengen der Form V₊ (I) die abgeschlossenen Mengen bilden. Eine Basis dieser Topologie sind die offenen Mengen der Form \begin{eqnarray}{D}_{+}(f)=\text{Proj}(S)\backslash {V}_{+}(fS)\end{eqnarray}

für homogene Elemente f ∈ S. Wenn M ⊂ S \ 0 eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge aus homogenen Elementen ist, so ist S_M (Lokalisierung) ein ℤ-graduierter Ring, die homogenen Elemente sind diejenigen von der Form \({\scriptstyle \frac{g}{f}}\), g ∈ S homogen und f ∈ M, und \begin{eqnarray}\deg \left(\frac{g}{f}\right)=\deg (g)-\deg (f).\end{eqnarray}

Weiter sei S_(M) die Komponente von S_M vom Grad 0.

Auf Proj(S) erhält man eine Garbe von lokalen Ringen 𝒪 durch 𝒪(D₊ (f)) = S_(f) (Komponente vom Grad 0 von S_f) und 𝒪-Modulgarben O(n) (n ∈ ℤ) durch 𝒪(n)(D₊ (f)) = (S_f)_n (Komponente vom Grad n von S_f). Dann ist (D₊ (f), 𝒪|D₊ (f)) isomorph zu dem affinen Schema Spec(S_(f)), und daher ist Proj(S) ein Schema.

Ferner sind die Garben 𝒪(n)|D₊ (f) die quasikohärenten Modulgarben, die den S_(f)-Moduln (S_f)_n zugeordnet sind. Wenn S über S₀ durch homogene Elemente f₀, f₁, …, f_n endlich erzeugt ist, so ist \begin{eqnarray}{D}_{+}({f}_{0}),{D}_{+}({f}_{1}),\ldots, {D}_{+}({f}_{n})\end{eqnarray}

eine affine Überdeckung von Proj(S). Man erhält einen natürlichen Morphismus Proj(S) → Spec(S₀) (mit der zugrundeliegenden Abbildung 𝔭 ↦ 𝔭 ∩ S₀).

Ist S₀ → A ein Homomorphismus, so ist A ⊗_S0S graduierter Ring über A, und \begin{eqnarray}\text{Proj}(A{\otimes }_{{S}_{0}}S)=\text{Spec}(A){\times }_{\text{Spec}({S}_{0})}\text{Proj}(S).\end{eqnarray}

Eine homogene Surjektion graduierter Ringe S → S′ induziert eine abgeschlossene Einbettung P′ = Proj(S′) → Proj(S) = P, so daß 𝒪_P(n)|P′ = 𝒪_P′ (n). Ebenso induziert ein homogener Homomorphismus S → S′ graduierter Ringe mit der Eigenschaft, daß alle Elemente von S′₊/S′ S₊ nilpotent sind, einen affinen Morphismus φ : Proj(S′) = P′ → Proj(S) = P mit φ^∗ 𝒪_P′ (n) für alle n. So ist z. B. bei gegebenem P = Proj(S) der Ring \begin{eqnarray}{S}^{\prime}=\mathop{\oplus }\limits_{n\ge 0}{{\mathcal{O}}}_{P}(n)(P)\end{eqnarray}

ein graduierter Ring, und es gibt einen natürlichen Homorphismus S → S′. Der induzierte Morphismus Proj(S′) → P = Proj(S) ist in diesem Fall ein Isomorphismus.

Wenn S von S₀ und S₁ erzeugt wird, so sind die Garben 𝒪(n) lokal freie Garben vom Rang 1, und es gilt 𝒪(n) ⊗ 𝒪(m) = 𝒪(n + m) sowie 𝒪(−n) = Hom_𝒪(𝒪(n), 𝒪).

Ein Spezialfall als Beispiel: Wenn A = k ein Körper ist, und S durch algebraisch unabhängige Elemente X₀, X₁, …, X_n vom Grad ω₀, ω₁, …, ω_n (mit ggT (ω₀, …, ω_n) = 1) erzeugt wird, so heißt Proj(S) gewichteter projektiver Raum über k mit Gewichten ω₀, …, ω_n. Die übliche Bezeichnung ist ℙ(ω₀, ω₁, …, ω_n).

Das Schema ℙ(E) ist genau dann glatt über A, wenn E ein endlich erzeugter projektiver A-Modul ist. Die Multiplikation liefert einen Epimorphismus von Garben von 𝒪_X-Moduln \begin{eqnarray}{{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(-1)\otimes E\to {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)},\end{eqnarray}

und man erhält eine exakte Folge \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}0 & \to & {\Omega }_{{\mathbb{P}}(E)|A}^{1}\to {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(-1){\otimes }_{A}E\\ & \to & {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}\to 0,\end{array}\end{eqnarray}

die, ebenso wie ihre duale Folge \begin{eqnarray}0\to {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}\to {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(1){\otimes }_{A}\breve{E}\to {\Theta }_{{\mathbb{P}}(E)A}\text{}\to 0,\end{eqnarray}

Euler-Folge heißt. Die Einbettung \({{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}\to {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(1)\otimes \breve{E}\) liefert einen globalen Schnitt \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}I & \in & {H}^{0}({\mathbb{P}}(E),{{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(1){\otimes }_{A}\breve{E})\\ & = & E{\otimes }_{A}\breve{E}\cong \text{Home}(E,E),\end{array}\end{eqnarray}

der der identischen Abbildung entspricht.