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Lexikon der Mathematik: projektives Spektrum

Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Es sei S = S0S1S2 ⊕ · · · ein graduierter kommutativer Ring. Diesem ist auf folgende Weise ein Schema Proj(S) und ein Morphismus Proj(S) → Spec(S0) zugeordnet: Sei S+ = S1 + S2 + · · ·. Die zugrundeliegende Punktmenge ist die Menge aller homogenen Primideale 𝔭 mit S+ ⊈ 𝔭. Für jedes homogene Ideal I sei \begin{eqnarray}{V}_{+}(I)=\{{\mathfrak{p}}\in \text{Proj}(S)|{\mathfrak{p}}\supseteq I\}.\end{eqnarray}

Ist {Iα} eine Familie homogener Ideale, so ist \begin{eqnarray}{V}_{+}\left(\displaystyle \sum _{\alpha }{I}_{\alpha }\right)=\displaystyle \mathop{\bigcap }\limits_{\alpha }({V}_{+}({I}_{\alpha }))\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{V}_{+}({I}_{1}\cap {I}_{2})={V}_{+}({I}_{1})\cup {V}_{+}({I}_{2}).\end{eqnarray}

Die Topologie auf Proj(S) ist diejenige, in der die Mengen der Form V+ (I) die abgeschlossenen Mengen bilden. Eine Basis dieser Topologie sind die offenen Mengen der Form \begin{eqnarray}{D}_{+}(f)=\text{Proj}(S)\backslash {V}_{+}(fS)\end{eqnarray}

für homogene Elemente fS. Wenn MS \ 0 eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge aus homogenen Elementen ist, so ist SM (Lokalisierung) ein ℤ-graduierter Ring, die homogenen Elemente sind diejenigen von der Form \({\scriptstyle \frac{g}{f}}\), gS homogen und fM, und \begin{eqnarray}\deg \left(\frac{g}{f}\right)=\deg (g)-\deg (f).\end{eqnarray}

Weiter sei S(M) die Komponente von SM vom Grad 0.

Auf Proj(S) erhält man eine Garbe von lokalen Ringen 𝒪 durch 𝒪(D+ (f)) = S(f) (Komponente vom Grad 0 von Sf) und 𝒪-Modulgarben O(n) (n ∈ ℤ) durch 𝒪(n)(D+ (f)) = (Sf)n (Komponente vom Grad n von Sf). Dann ist (D+ (f), 𝒪|D+ (f)) isomorph zu dem affinen Schema Spec(S(f)), und daher ist Proj(S) ein Schema.

Ferner sind die Garben 𝒪(n)|D+ (f) die quasikohärenten Modulgarben, die den S(f)-Moduln (Sf)n zugeordnet sind. Wenn S über S0 durch homogene Elemente f0, f1, …, fn endlich erzeugt ist, so ist \begin{eqnarray}{D}_{+}({f}_{0}),{D}_{+}({f}_{1}),\ldots, {D}_{+}({f}_{n})\end{eqnarray}

eine affine Überdeckung von Proj(S). Man erhält einen natürlichen Morphismus Proj(S) → Spec(S0) (mit der zugrundeliegenden Abbildung 𝔭 ↦ 𝔭 ∩ S0).

Ist S0A ein Homomorphismus, so ist AS0S graduierter Ring über A, und \begin{eqnarray}\text{Proj}(A{\otimes }_{{S}_{0}}S)=\text{Spec}(A){\times }_{\text{Spec}({S}_{0})}\text{Proj}(S).\end{eqnarray}

Eine homogene Surjektion graduierter Ringe SS′ induziert eine abgeschlossene Einbettung P′ = Proj(S′) → Proj(S) = P, so daß 𝒪P(n)|P′ = 𝒪P′ (n). Ebenso induziert ein homogener Homomorphismus SS′ graduierter Ringe mit der Eigenschaft, daß alle Elemente von S+/SS+ nilpotent sind, einen affinen Morphismus φ : Proj(S′) = P′ → Proj(S) = P mit φ 𝒪P′ (n) für alle n. So ist z. B. bei gegebenem P = Proj(S) der Ring \begin{eqnarray}{S}^{\prime}=\mathop{\oplus }\limits_{n\ge 0}{{\mathcal{O}}}_{P}(n)(P)\end{eqnarray}

ein graduierter Ring, und es gibt einen natürlichen Homorphismus SS′. Der induzierte Morphismus Proj(S′) → P = Proj(S) ist in diesem Fall ein Isomorphismus.

Wenn S von S0 und S1 erzeugt wird, so sind die Garben 𝒪(n) lokal freie Garben vom Rang 1, und es gilt 𝒪(n) ⊗ 𝒪(m) = 𝒪(n + m) sowie 𝒪(−n) = Hom𝒪(𝒪(n), 𝒪).

Ein Spezialfall als Beispiel: Wenn A = k ein Körper ist, und S durch algebraisch unabhängige Elemente X0, X1, …, Xn vom Grad ω0, ω1, …, ωn (mit ggT (ω0, …, ωn) = 1) erzeugt wird, so heißt Proj(S) gewichteter projektiver Raum über k mit Gewichten ω0, …, ωn. Die übliche Bezeichnung ist ℙ(ω0, ω1, …, ωn).

Das Schema ℙ(E) ist genau dann glatt über A, wenn E ein endlich erzeugter projektiver A-Modul ist. Die Multiplikation liefert einen Epimorphismus von Garben von 𝒪X-Moduln \begin{eqnarray}{{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(-1)\otimes E\to {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)},\end{eqnarray}

und man erhält eine exakte Folge \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}0 & \to & {\Omega }_{{\mathbb{P}}(E)|A}^{1}\to {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(-1){\otimes }_{A}E\\ & \to & {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}\to 0,\end{array}\end{eqnarray}

die, ebenso wie ihre duale Folge \begin{eqnarray}0\to {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}\to {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(1){\otimes }_{A}\breve{E}\to {\Theta }_{{\mathbb{P}}(E)A}\text{}\to 0,\end{eqnarray}

Euler-Folge heißt. Die Einbettung \({{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}\to {{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(1)\otimes \breve{E}\) liefert einen globalen Schnitt \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}I & \in & {H}^{0}({\mathbb{P}}(E),{{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(1){\otimes }_{A}\breve{E})\\ & = & E{\otimes }_{A}\breve{E}\cong \text{Home}(E,E),\end{array}\end{eqnarray}

der der identischen Abbildung entspricht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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