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Lexikon der Mathematik: Prozeß mit unabhängigen Zuwächsen

auch additiver Prozeß genannt, auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierter stochastischer Prozeß (Xt)tI, I = ℕ0 oder \(I={{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\), mit Werten in ℝd und der Eigenschaft, daß für alle n ∈ N und je endlich viele 0 ≤ t0 < t1 < … < tn in I die Zufallsvariablen \begin{eqnarray}{X}_{{t}_{0}},{X}_{{t}_{1}}-{X}_{{t}_{0}},\ldots, {X}_{{t}_{n}}-{X}_{{t}_{n-1}}\end{eqnarray}

unabhängig sind. Die Differenzen \({X}_{{t}_{i}}-{X}_{{t}_{i-1}}\) werden dabei als Zuwächse bezeichnet. Häufig findet man auch die formal schwächere äquivalente Definition, bei der t0 = 0 gefordert wird.

Beispiele für Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen sind die Brownsche Bewegung und der Poisson-Prozeß.

Als Verallgemeinerung werden sogenannte Prozesse mit (𝔄t)-unabhängigen Zuwächsen betrachtet. Damit meint man einer Filtration (𝔄t)tI in A adaptierte Prozesse, welche die Eigenschaft besitzen, daß für alle s, tI mit st die Zufallsvariable XtXs von der σ-Algebra 𝔄s unabhängig ist. Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen im obigen Sinne sind Prozesse mit (𝔄t)-unabhängigen Zuwächsen, wenn man als Filtration (𝔄t)tI die kanonische Filtration wählt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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