Verallgemeinerung des Konzepts einer inversen Matrix für singuläre und nichtquadratische Matrizen.

Es sei A eine (m × n)-Matrix über dem Körper 𝕂. Die (n × m)-Matrix B heißt Pseudo-Inverse von A, wenn \begin{eqnarray}ABA=A\,\,\text{und}\,\,BAB=B\end{eqnarray}

gilt. Offenbar ist jede Moore-Penrose-Inverse eine Pseudo-Inverse, jedoch nicht umgekehrt. Allerdings ist die Notation in der Literatur leider nicht ganz einheitlich, manche Autoren bezeichnen auch die gerade definierte Matrix B als Moore-Penrose-Inverse, benutzen beide Bezeichnungen also synonym.

Die Pseudo-Inverse ist ein nützliches Hilfsmittel, wenn bei Algorithmen Singularitäten auftreten. Beispielsweise läßt sie sich beim Newtonverfahren einsetzen, wenn die Ableitung Df(x_k) der untersuchten Funktion in einem Iterationspunkt singulär wird. Dann kann man versuchen, den nächsten Iterationspunkt durch Übergang zur Pseudo-Inversen von Df(x_k) zu ermitteln.

[1] Rao, C. R.; Mitra, S. K.: Generalized Inverse of Matrices and Its Applications. Wiley New York, 1971.