pseudokonvexes Gebiet, fundamentaler Begriff in der Funktionentheorie mehrerer Variabler.

Für einen Bereich (ein Gebiet) X ⊂ ℂⁿ und eine Norm β auf ℂⁿ bezeichne B_β(a; r) den (offenen) β-Ball vom Radius r > 0 um a im ℂⁿ, und δ_X,β : X → ℝ ∪ {∞}, \begin{eqnarray}x\to dis{t}_{\beta }(x,\partial X)= sup\, \{r;{B}_{\beta }(x;r)\subset X\}\end{eqnarray}

die β-Rand-Abstandsfunktion. X heißt pseudokonvex, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

i) Für jede Norm β auf ℂⁿ ist die Funktion \begin{eqnarray}-\mathrm{log}{\delta }_{X,\beta }:X\to {\mathbb{R}}\end{eqnarray}

plurisubharmonisch (plurisubharmonische Funktion).

ii) Es existiert eine Norm β, so daß−log δ_X,_β : X → ℝ plurisubharmonisch ist.

iii) Es existiert eine plurisubharmonische Funktion u : X → ℝ, die eigentlich und beschränkt von unten ist, d. h., für jedes r ∈ ℝ liegt X_r := {x ∈ X | u (x) < r} relativkompakt in X.

iv) Für jede kompakte Menge K ⊂ X ist die pseudokonvexe Hülle \(\tilde{K}\) kompakt.

v) Für jede komplexe Scheibe B ⊂ ℂ und jede stetige Abbildung φ : I × ℂ → ℂⁿ, so daß φ_t : ℂ → ℂⁿ, z ↦ φ (t, z) holomorph ist und φ_t(∂B) ⊂ X für alle t ∈ I, gilt die folgende Aussage: Die Inklusion φ_t(B) ⊂ X gilt entweder für alle t ∈ I oder für kein t ∈ I. Dabei sei I := [0,1].

Ein beschränkter Bereich X ⊂ ℂⁿ, der relativ kompakt in ℂⁿ liegt, heißt streng pseudokonvex, wenn es auf einer Umgebung U von ∂X eine streng plurisubharmonische Funktion φ gibt, so daß \begin{eqnarray}X\cap U=\{z\in U|\phi (z)\lt 0\}\end{eqnarray}

gilt.