Abstandsfunktion auf einer Menge, die keinen echt positiven Abstand garantiert.

Es sei M eine Menge. Dann heißt eine Abbildung d : M × M → ℝ eine Pseudometrik, falls gelten:

(1) d(x, x) = 0 für alle x ∈ M;

(2) d(x, y) = d(y, x) für alle x, y ∈ M;

(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) für alle x, y, z ∈ M.

Verlangt man noch zusätzlich, daß für x, y ∈ M mit x ≠ y stets d(x, y) > 0 gilt, so spricht man von einer Metrik (metrischer Raum). Bei einer Pseudometrik folgt zwar aus \begin{eqnarray}0\text{}=\text{}d(x,\text{}x)\text{}\le \text{}d(x,\text{}y)\text{}+\text{}d(y,\text{}x)\text{}=\text{}2d(x,\text{}y)\end{eqnarray}

sofort, daß d(x, y) ≥ 0 gilt, aber die echte Positivität ist nicht gewährleistet.