Rotationsfläche konstanter negativer Krümmung im ℝ³.

Der Name ’Pseudosphäre’ wurde dieser Fläche verliehen, weil sie wegen ihrer konstanten negativen Krümmung ein Pendant zur Sphäre, einer Fläche konstanter positiver Krümmung ist.

Bei der Suche nach parametrischen Flächen Φ(u, v) konstanter negativer Gaußscher Krümmung k steht man vor der Aufgabe, Lösungen der nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zu finden, die sich ergibt, wenn man den Ausdruck \begin{eqnarray}\frac{\langle {\Phi }_{uu,}{\Phi }_{u}\times {\Phi }_{v}\rangle \langle {\Phi }_{vv,}{\Phi }_{u}\times {\Phi }_{v}\rangle -{\langle {\Phi }_{uv,}{\Phi }_{u}\times {\Phi }_{v}\rangle }^{2}}{|{\Phi }_{u}\times {\Phi }_{v}{|}^{4}}\end{eqnarray}

für die Gaußsche Krümmung der Fläche Φ(u, v) gleich dem konstanten Wert k setzt.

Rotationsflächen entstehen z. B. durch Drehung einer ebenen parametrisierten Kurve α(t) = (ξ(t), 0, η(t))^⊤ um die z-Achse und haben eine Parameterdarstellung der Form \begin{eqnarray}\Phi (u,v)={(cos(u)\xi (v),\sin (u)\xi (v),\eta (v))}^{\top }.\end{eqnarray}

Sie besitzen eine einparametrige Familie von Isometrien, die sich aus diesen Drehungen zusammensetzt. Daher hängt die Gaußsche Krümmung von Φ(u, v) nur vom Parameter v ab. Setzt man außerdem noch ξ′² (t) + η′² (t) = 1 voraus, so ist die Gaußsche Krümmung von Φ(u, v) die Funktion −ξ″ (v)/ξ(v), und die partielle Differentialgleichung reduziert sich auf die gewöhnliche lineare Differentialgleichung \begin{eqnarray}-{\xi }^{\prime\prime}(v)/\xi (v)=k.\end{eqnarray}

Man erhält eine zweiparametrige Schar von Lösungen, aus denen sich für geeignete Integrationskonstanten die durch \begin{eqnarray}\left.\begin{array}{c}\xi (t)=a{e}^{-t/a}\\ \eta (t)=\displaystyle {\int }_{0}^{t}\sqrt{1-{e}^{-2\tau /a}}d\end{array}\right\}\,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,{0}\le \text{t<}\infty \\ \left.\begin{array}{c}\xi (t)=a{e}^{-t/a}\\ \eta (t)=\displaystyle {\int }_{0}^{t}\sqrt{1-{e}^{-2\tau /a}}d\end{array}\right\}\,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\infty \lt \text{t}\le \text{0}\end{eqnarray}

definierte Kurve α(t) = (ξ(t), 0, η(t))^⊤ ergibt. Diese Funktionen ergeben eine Reparametrisierung der Traktrix.