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Lexikon der Mathematik: Punktprozeß

auch zufälliger Punktprozeß genannt, meßbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) in den meßbaren Raum (M, 𝔐).

Dabei bezeichnet M die Menge aller lokalendlichen Zählmaße auf der Borel-σ-Algebra 𝔅(S) eines lokalkompakten Hausdorffraumes S mit abzählbarer Basis, d. h. aller Radon-Maße μ mit μ(K) ∈ ℕ0 für alle relativ kompakten KS, und 𝔐 die kleinste σ-Algebra, bezüglich der jede der auf M durch μ → ∫fdμ definierten reellwertigen Abbildungen meßbar ist. Die Abbildungen f : S → ℝ sind beliebige stetige Funktionen mit kompakten Träger. Die Realisierungen des Prozesses sind also bestimmte Maße, weshalb Punktprozesse auch als zufällige Zählmaße bezeichnet werden. Im Falle S = ℝ kann jeder Punktprozeß äquivalent als Folge (Xn)n∈Z von Zufallsvariablen Xn : M → [−∞, +∞] mit den folgenden Eigenschaften dargestellt werden:

(i) Für alle ωM gilt \begin{eqnarray}\mathrm{...}\le {X}_{-1}(\omega )\le {X}_{0}(\omega )\lt 0\le {X}_{1}(\omega )\le \mathrm{...}\end{eqnarray}

(ii) Zu jedem ωM und jedem c > 0 gibt es ein \begin{eqnarray}{n}_{\omega, c}\in {\mathbb{N}}\text{mit|}{X}_{n}\text{(}\omega \text{)}|\gt c \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\text{alle}\,|n| \gt {n}_{\omega, c}.\end{eqnarray}

Dieser Zusammenhang verdeutlicht die ursprünglich mit einem Punktprozeß verbundene Vorstellung als einer Folge von zufällig auf der reellen Achse angeordneten, sich nirgendwo im Endlichen häufenden Punkten. Für Punktprozesse existieren zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten, so z. B. bei der Modellierung von Bedienungssystemen oder in der stochastischen Geometrie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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