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Lexikon der Mathematik: pythagoräisches Zahlentripel

pythagoräisches Tripel, eine Zusammenfassung von drei natürlichen Zahlen (x, y, z) mit der Eigenschaft x2 +y2 = z2.

Pythagoräische Zahlentripel tauchen bereits in sehr alten mathematischen Texten auf, und zwar in aller Regel im Zusammenhang mit der Bestimmung von rechtwinkligen Dreiecken (pythagoräisches Dreieck, Satz des Pythagoras). Darüber hinaus ist die Kenntnis von Methoden zur Konstruktion pythagoräischer Zahlentripel in babylonischen, altindischen und altchinesischen mathematischen Werken zu finden.

Ist (x, y, z) ein pythagoräisches Zahlentripel, und ist d eine beliebige natürliche Zahl, dann ist offenbar auch (dx, dy, dz) ein pythagoräisches Zahlentripel. Um eine Übersicht über alle pythagoräischen Zahlentripel zu erhalten, nennt man zunächst (x, y, z) ein primitives pythagoräisches Tripel, wenn der größte gemeinsame Teiler von x, y, z gleich 1 ist. Die drei kleinsten primitiven pythagoräischen Tripel sind \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\text{(3, 4, 5),} & \text{(5, 12, 13),} & \text{(5, 12, 13)}\text{.}\end{array}\end{eqnarray}

Man stellt leicht fest, daß bei einem primitiven pythagoräischen Tripel genau eine der Zahlen x, y gerade ist; man kann also die Bezeichnungen stets so wählen, daß x ungerade und y gerade ist. Darauf basierend gibt Euklid in geometrischer Form eine vollständige Bestimmung dieser Zahlentripel, die in heutiger Schreibweise so lautet:

Alle primitiven pythagoräischen Tripel (x, y, z) mit geradem y besitzen eine Parameterdarstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}x={a}^{2}-{b}^{2}\text{,} & y=2ab\text{,} & z={a}^{2}+{b}^{2},\end{array}\end{eqnarray}

wobei a, b teilerfremde natürliche Zahlen sind, deren Differenz ab positiv und ungerade ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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