iteratives Krylow-Raum-Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b, wobei A ∈ ℝ^n×n eine beliebige (insbesondere auch unsymmetrische) Matrix ist.

Da im Laufe der Berechnungen lediglich Matrix-Vektor-Multiplikationen benötigt werden, ist das Verfahren besonders für große sparse Matrizen A geeignet.

Das QMR-Verfahren ist eine Verallgemeinerung des konjugierten Gradientenverfahrens für Gleichungssysteme mit symmetrisch positiv definiten Koeffizientenmatrizen. Es wird, ausgehend von einem (beliebigen) Startvektor x⁽⁰⁾, eine Folge von Näherungsvektoren x^(k) an die gesuchte Lösung x gebildet.

Im k-ten Schritt des QMR-Verfahrens minimiert man nun \begin{eqnarray}{(b-A{x}^{(k)})}^{T}(b-A{x}^{(k)})\end{eqnarray}

unter der Nebenbedingung, daß x^(k) die Form \({x}^{(k)}={x}^{(0)}+{Q}_{k}{y}^{(k)}\) für ein y^(k) ∈ ℝ^k hat. Dabei wird Q_k ∈ ℝ^n×k gerade als die Matrix gewählt, welche man nach k Schritten des Lanczos-Verfahrens erhält, d. h. \begin{eqnarray}A{Q}_{k}={Q}_{k+1}{T}_{k+1}\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}{T}_{k+1,k}=\left[\begin{array}{lllll}{\alpha }_{1} & {\beta }_{1} & & & \\ {\beta }_{1} & {\alpha }_{2} & {\beta }_{2} & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & {\beta }_{k-1}\\ & & & {\beta }_{k-1} & {\alpha }_{k}\\ & & & & {\beta }_{k}\end{array}\right]\in {{\mathbb{R}}}^{k+1,k}.\end{eqnarray}

Es folgt, daß y^(k) als die Lösung des linearen Ausgleichsproblems \begin{eqnarray}\mathop{\min }\limits_{y\in {{\mathbb{R}}}^{k}}||\frac{{e}_{1}}{||{r}^{(0)}|{|}_{2}}-{T}_{k+1,k}y|{|}_{2}\end{eqnarray}

zu wählen ist, wobei e₁ = [1, 0, …, 0]^T ∈ ℝ^k. Das Ausgleichsproblem kann effizient mittels der Methode der kleinsten Quadrate gelöst werden.

Aufgrund des zugrundeliegenden Lanczos-Verfahrens kann das QMR-Verfahren vorzeitig zusammenbrechen, ohne eine Lösung des Problems zu berechnen. Mithilfe von sogenannten lookahead Techniken ist es jedoch möglich, diese Probleme zu umgehen.

Die dem QMR-Verfahren zugrundeliegende Idee ist ähnlich der des GMRES-Verfahrens. Dort wird statt des Lanczos-Verfahrens das Arnoldi-Verfahren verwendet.

[1] Hartung, J.; Elpelt, B.: Multivariate Statistik. Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik, Oldenbourg Verlag, München, 1989.