Lexikon der Mathematik: QR-Algorithmus
stabiles Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems Ax = λx für A ∈ ℝn×n.
Die Matrix A wird dabei iterativ mittels Ähnlichkeitstransformationen auf obere Dreiecksform S gebracht. Von der Diagonalen von S lassen sich dann die Eigenwerte von A ablesen, das Produkt aller verwendeten Ähnlichkeitstransformationen enthält die Informationen über die zugehörigen Eigenvektoren bzw. invarianten Unterräume.
Der auf Francis (1961) und Kublanovskaja (1961) zurückgehende QR-Algorithmus basiert auf der QR-Zerlegung, d. h. auf der Zerlegung einer Matrix A in das Produkt einer orthogonalen Matrix Q und einer oberen Dreiecksmatrix R. Er berechnet in einem ersten Schritt die Reduktion von A auf eine obere Hessenberg-Form
\begin{eqnarray}{A}^{(k)}\mathop{\to }\limits^{{\beta }_{1}}{A}^{(k+1)}\mathop{\to }\limits^{{\beta }_{2}}{A}^{(k+2)}\end{eqnarray}
nicht explizit, sondern faßt die Berechnungen zusammen und berechnet den Übergang
implizit ohne komplexe Zwischenrechnung, denn mit A(k) ist auch A(k+2) wieder reell. Dazu nutzt man die folgenden beiden Beobachtungen aus. Es gilt
und
Daraus folgt
mit e1 = (1,0, …,0)T ∈ ℝn. In der Praxis berechnet man nun eine orthogonale Matrix \(\tilde{Q}\), welche die erste Spalte von
auf ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors transformiert:
Die gegebene obere Hessenberg-Matrix A(k) wird dann in einem ersten Teilschritt mit der Matrix \(\tilde{Q}\) durch
einer Ähnlichkeitstransformation unterworfen. Anschließend wird B mittels einer orthogonalen Matrix \(\widehat{Q}\) wieder auf Hessenberg-Form
gebracht. C stimmt im wesentlichen mit A(k+2) überein, beide unterscheiden sich nur durch eine Ähnlichkeitstransformation mit einer Diagonalmatrix D. Für den QR-Algorithmus ist dies ohne Bedeutung, man setzt daher \({A}^{(k+2)}={\widehat{Q}}^{T}B\widehat{Q}\). In der Praxis verwendet man einen solchen impliziten Doppelschritt auch dann, wenn die (2 × 2)-Matrix in (1) nur reelle Eigenwerte β1,β2 hat.
Die Reduktion auf Hessenberg-Form wird wie unter Hessenberg-Form beschrieben durchgeführt. Dabei ist zu beachten, daß aufgrund der Reduktion auf obere Hessenberg-Form im ersten Schritt des QR-Algorithmus jede Iterierte wieder Hessenberg-Form hat. Daher ist die Matrix B keine vollbesetzte Matrix, sie unterscheidet sich nur in zwei Positionen von einer oberen Hessenberg-Matrix:
Die Berechnungen vereinfachen sich daher. Die anfängliche Reduktion auf obere Hessenberg-Form dient der Reduktion des Rechenaufwands pro Iterationsschritt. Abhängig davon, ob man sich bei den Berechnungen zur Reduktion auf Hessenberg-Form auf Householder-Matrizen oder auf Givens-Matrizen stützt, spricht man vom Householderschen QR-Algorithmus oder vom Givensschen QR-Algorithmus.
Der QR-Algorithmus ist auch für komplexe Matrizen A durchführbar. In diesem Falle werden unitäre anstelle der orthogonalen Ähnlichkeitstransformationen verwendet. Die Folge der Iterierten konvergiert dann i. allg. gegen eine obere Dreiecksmatrix.
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