Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Quadrate-Satz

macht Aussagen darüber, für welche natürliche Zahlen n das Produkt zweier Summen von n Quadraten reeller Zahlen selbst wieder Summe von n Quadraten bilinearer Ausdrücke in diesen Zahlen ist.

Genauer: Der Satz besagt, für welche n es n reelle Bilinearformen \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{c}_{i}=\displaystyle \sum _{j,k=1}^{n}{\gamma }_{i}^{jk}{a}_{j}{b}_{k}, & {\gamma }_{i}^{jk}\in {\mathbb{R}}\end{array},\end{eqnarray}

gibt, derart, daß für alle a1, …, an, b1, …, bn \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{c}_{i}^{2}=\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{a}_{j}^{2}\cdot \displaystyle \sum _{k=1}^{n}{b}_{k}^{2}\end{eqnarray}

gilt. Nach dem Hurwitzschen Kompositionssatz (Komposition von quadratischen Formen) ist dies nur für n = 1,2,4 oder 8 möglich. In diesem Fall ist sogar \({\gamma }_{i}^{jk}\) ∈ ℤ.

Für n = 2 ergibt sich aus der Relation |z|2 |w|2 = |zw|2 zwischen der Multiplikation und der Betragsbildung komplexer Zahlen der Zwei-Quadrate-Satz \begin{eqnarray}({u}^{2}+{v}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})={(ux-vy)}^{2}+{(uy+vx)}^{2}.\end{eqnarray}

Die restlichen Fälle (Vier-Quadrate-Satz und Acht-Quadrate-Satz) ergeben sich durch analoge Beziehungen in der Hamiltonschen Quaternionenalgebra bzw. in der Oktonienalgebra.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos