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Lexikon der Mathematik: quadratintegrierbare Funktion

im Spezialfall eines Maßraums (Ω, Σ, μ) ein Element des Funktionenraums 𝔏2 (μ), also eine meßbare Funktion f : Ω → ℂ mit \begin{eqnarray}\displaystyle {\int }_{\Omega }|f{|}^{2}d\mu \lt \infty.\end{eqnarray}

Durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\Vert f\Vert }_{2}:=\displaystyle {\int }_{\Omega }|f{|}^{2}d\mu & (f\in {{\mathfrak{L}}}^{2}(\mu ))\end{array}\end{eqnarray}

wird eine Halbnorm ∥ ∥2 : 𝔏2 (μ) → [0, ∞) definiert. Diese wird durch ein Semiskalarprodukt erzeugt, nämlich gerade durch das Quadratintegral ⟨,⟩μ : 𝔏2 (μ) × 𝔏2 (μ) → ℂ. Es gilt also \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{2}=\sqrt{{\langle f,f\rangle }_{\mu }}\end{eqnarray}

für f ∈ 𝔏2 (μ). Durch Quotientenbildung nach dem Unterraum \begin{eqnarray}\big\{f\in {{\mathfrak{L}}}^{2}(\mu )|{\Vert f\Vert }_{2}=0\big\}\end{eqnarray}

erhält man aus 𝔏2 (μ) einen Hilbertraum L2 (μ). Das Skalarprodukt zweier Elemente ist dabei durch das Quadratintegral beliebiger Repräsentanten gegeben.

Hier wurde gleich ein Maßraum zugrundegelegt. Ist zunächst nur ein Maß auf einem Mengen(halb)ring gegeben, so muß dieses beim klassischen Zugang erst auf eine σ-Algebra fortgesetzt werden, ehe man meßbare Funktionen betrachten und damit schließlich den Raum L2 (μ) definieren kann. Eleganter ist es, im Rahmen einer Integrationstheorie mit Integralnormen diese auch zur Definition von 𝔏2-Räumen zu benutzen. Dieser Zu gang ist auch geeignet zur Behandlung wesentlich allgemeinerer Begriffe von Quadratintegrierbarkeit.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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