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Lexikon der Mathematik: quadratische Algebra

eine Algebra über einem Ring R mit spezieller Multiplikation.

Es seien R ein kommutativer Ring, α,βR, und es sei (e1, e2) die Standardbasis von RR. Die quadratische Algebra A vom Typ (α,β) über R ist definiert als der R-Modul RR, dessen Algebrenstruktur festgelegt wird durch \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{e}_{1}^{2}={e}_{1}, & {e}_{1}{e}_{2}={e}_{2}{e}_{1}={e}_{2}, & {e}_{2}^{2}=\alpha {e}_{1}+\beta {e}_{2}\end{array}.\end{eqnarray}

Jede R-Algebra A, die isomorph zu einer quadratischen Algebra im obigen Sinne ist, heißt ebenfalls quadratische Algebra.

Jede quadratische Algebra besitzt ein Einselement, ist kommutativ und assoziativ.

Manchmal versteht man unter einer quadratischen Algebra eine Algebra A von beliebigem Rang mit Einselement e, für welche jedes Element x in A, das kein Vielfaches von e ist, einer Gleichung \begin{eqnarray}{x}^{2}=\alpha e+\beta x\end{eqnarray}

mit von x abhängigen α,βR genügt. Insbesondere ist dann jede Unteralgebra ReRx eine quadratische Algebra im ersten Sinne.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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