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Lexikon der Mathematik: quadratische Form

Abbildung q : V → K eines K-Vektorraumes V in seinen zugrundeliegenden Körper 𝕂, für die gilt:

  • q(av) = a2q(v) für alle a ∈ 𝕂, vV;
  • durch (v1, v2) 4→q(v1 + v2) − q(v1) − q(v2) ist eine Bilinearform auf V gegeben.

Diese Bilinearform heißt die zu q assoziierte Bilinearform oder die Polarisierte zu q; sie ist stets symmetrisch. Die quadratische Form q heißt nicht ausgeartet, falls ihre assoziierte Bilinearform nicht ausgeartet ist.

Beispiele: (1) Durch q : 𝕂n → 𝕂, \begin{eqnarray}{({x}_{1},\ldots, {x}_{n})}^{t}\mapsto \displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{c}_{ij}{x}_{i}{x}_{j}\end{eqnarray}

ist für beliebige cij ∈ 𝕂 eine quadratische Form auf dem 𝕂-Vektorraum 𝕂n gegeben. Zu einer solchen quadratischen Form existiert stets eine symmetrische Matrix A über 𝕂 mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}q(x)={x}^{t}Ax. & (1)\end{array}\end{eqnarray}

Die symmetrische Matrix A heißt die Matrixdarstellung oder die Formenmatrix der quadratischen Form q, sie ist durch q eindeutig bestimmt.

Andererseits definiert auch jede symmetrische (n × n)-Matrix über 𝕂 mittels (1) eine quadratische Form q auf 𝕂n, d. h. die quadratischen Formen auf

𝕂n entsprechen umkehrbar eindeutig den symmetrischen (n × n)-Matrizen über 𝕂.

(2) Ist q eine quadratische Form auf dem n-dimensionalen Vektorraum V mit der Basis B = (b1, …, bn), so gilt: \begin{eqnarray}q(({x}_{1},\ldots, {x}_{n}))=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}q({b}_{i})+\displaystyle \sum _{i\lt j}{x}_{i}{x}_{j}\beta ({b}_{i},{b}_{j}),\end{eqnarray}

wobei (x1, …, xn) einen Koordinatenvektor bzgl. B bezeichnet, und β die zu q assoziierte Bilinearform ist.

Im Falle char 𝕂 ≠ 2 läßt sich eine quadratische Form q aus ihrer assoziierten Bilinearform β zurückgewinnen: \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}q(v)=\displaystyle\frac{1}{2}\beta (v,v) & \text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r\,{\text {alle}}}\,\,\,v\in V.\end{array}\end{eqnarray}

Umgekehrt wird durch (2) eine quadratische Form q definiert, falls β eine symmetrische Bilinearform ist. Im Falle char 𝕂 ≠ 2 entsprechen die quadratischen Formen auf einem 𝕂-Vektorraum V also umkehrbar eindeutig den symmetrischen Bilinearformen auf V.

Die quadratische Form q auf dem n-dimensionalen 𝕂-Vektorraum V (char 𝕂 ≠ 2) ist genau dann nicht ausgeartet, wenn die zu q assoziierte Bilinearform bzgl. einer Basis von V durch eine reguläre Matrix beschrieben wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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