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Lexikon der Mathematik: quadratische Konvergenz

spezielle Konvergenzordnung von Iterationsverfahren.

Es seien M ⊆ ℝ m und T : MM eine Abbildung. Um einen Fixpunkt x von T zu finden, wählt man einen Startpunkt x 0M und verwendet dann die Iteration xn +1 = T(xn). Man sagt dann, daß dieses Iterationsverfahren quadratisch konvergiert, wenn es eine von n unabhängige Zahl c ≥ 0 gibt, so daß \begin{eqnarray}||{x}_{n+1}-x^* ||\le c\cdot ||{x}_{n}-x^* |{|}^{2}\end{eqnarray}

ist, sofern man mit einem x 0 aus einer passenden Umgebung des Fixpunktes x startet.

Standardbeispiel für ein quadratisch konvergentes Verfahren ist das Newtonverfahren zur Berechnung von Nullstellen. Ist f eine stetig differenzierbare reelle Funktion, so setzt man \begin{eqnarray}T(x)=x-\frac{f(x)}{{f}{^{\prime} }(x)}\end{eqnarray}

und hat damit das Iterationsverfahren \begin{eqnarray}{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}{^{\prime} }({x}_{n})}.\end{eqnarray}

Dieses Verfahren konvergiert quadratisch, falls f′ im Grenzwert nicht verschwindet.

Ein weiteres Beispiel für ein quadratisch konvergentes Verfahren ist der erweiterte Remez-Algorithmus mit Simultanaustausch zur Berechnung bester polynomialer Approximationen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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