Lexikon der Mathematik: quadratische Konvergenz
spezielle Konvergenzordnung von Iterationsverfahren.
Es seien M ⊆ ℝ m und T : M → M eine Abbildung. Um einen Fixpunkt x ∗ von T zu finden, wählt man einen Startpunkt x 0 ∈ M und verwendet dann die Iteration xn +1 = T(xn). Man sagt dann, daß dieses Iterationsverfahren quadratisch konvergiert, wenn es eine von n unabhängige Zahl c ≥ 0 gibt, so daß
ist, sofern man mit einem x 0 aus einer passenden Umgebung des Fixpunktes x ∗ startet.
Standardbeispiel für ein quadratisch konvergentes Verfahren ist das Newtonverfahren zur Berechnung von Nullstellen. Ist f eine stetig differenzierbare reelle Funktion, so setzt man
und hat damit das Iterationsverfahren
Dieses Verfahren konvergiert quadratisch, falls f′ im Grenzwert nicht verschwindet.
Ein weiteres Beispiel für ein quadratisch konvergentes Verfahren ist der erweiterte Remez-Algorithmus mit Simultanaustausch zur Berechnung bester polynomialer Approximationen.
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