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Lexikon der Mathematik: quadratische Variation

der im folgenden beschriebene stochastische Prozeß.

Es sei (Ω, 𝔄, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (𝔄 t) t ≥0 eine Filtration in 𝔄, welche die üblichen Voraussetzungen erfüllt, und M = (Mt) t ≥0 ein an (𝔄 t) t ≥0 adaptiertes stetiges lokales Martingal. Für t ≥ 0 heißt dann die durch \begin{eqnarray}{[M]}_{t}={M}_{t}^{2}-{M}_{0}^{2}-2\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}MdM\end{eqnarray}

definierte Zufallsvariable [M] t die quadratische Variation von M zum Zeitpunkt t, und der Prozeß [M] = ([M] t) t ≥0 die quadratische Variation von M. Dabei ist zu beachten, daß es sich bei dem Integral \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}MdM\end{eqnarray}

um ein stochastisches Integral im Sinne von Itô, d. h. eine auf (Ω, 𝔄, P) definierte Zufallsvariable, handelt.

Die folgende Zusammenhang verdeutlicht, warum man von der quadratischen Variation spricht. Dazu sei t > 0, und \begin{eqnarray}{\pi }_{n}^{t}=\{{t}_{0}^{n},{t}_{1}^{n},\ldots, {t}_{{k}_{n}}^{n}\}\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}0={t}_{0}^{n}\lt {t}_{1}^{n}\lt \ldots \lt {t}_{{k}_{n}}^{n}=t\end{eqnarray}

für jedes n eine Zerlegung von [0, t], derart daß die Folge (δπtn) n ∈ℕ der Maschenweiten \begin{eqnarray}\delta {\pi }_{t}^{n}=\max \{|{t}_{i}^{n}-|{t}_{i-1}^{n}|:i\in \{1,\ldots, {k}_{n}\}\}\end{eqnarray}

gegen Null konvergiert. Ferner sei für jede Zerlegung \({\pi }_{t}^{n}\) die quadratische Variation von M über \({\pi }_{t}^{n}\) durch \begin{eqnarray}{V}^{(2)}({\pi }_{t}^{n})=\displaystyle \sum _{i=1}^{{k}_{n}}|{M}_{{t}_{i}^{n}}-{M}_{{t}_{i-1}^{n}}{|}^{2}\end{eqnarray}

definiert. Die Folge \({({V}^{(2)}({\pi }_{t}^{n}))}_{n\in {\mathbb{N}}}\) der quadratischen Variationen über den Zerlegungen konvergiert dann stochastisch gegen [M] t.

Die quadratische Variation des stetigen lokalen Martingals M ist darüber hinaus dadurch charakterisiert, daß sie der bis auf Nicht-Unterscheidbarkeit eindeutig bestimmte Prozeß (At) t ≥0in der Zerlegung von \({({M}_{t}^{2})}_{t\ge 0}\) in die Summe \({M}_{t}^{2}={X}_{t}+{A}_{t}\) für alle t ≥ 0 aus einem stetigen lokalen Martingal (Xt) t ≥0 und einem wachsenden stetigen Prozeß (At) t ≥0 mit Anfangswert Null ist. Dabei wird (At) t ≥0 im Falle eines Martingals M gelegentlich auch als die quadratische Charakteristik von M bezeichnet. Diese Zerlegung ist durch \begin{eqnarray}{M}_{t}^{2}=\left({M}_{0}^{2}+2\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}M\,dM\right)+{[M]}_{t}\end{eqnarray}

für alle t ≥ 0 gegeben.

Ist B = (Bt) t ≥0 eine eindimensionale Brownsche Bewegung, genauer eine an eine Filtration (𝔄 t) t ≥0, welche die üblichen Voraussetzungen erfüllt, adaptierte stetige Version, so ist die quadratische Variation von B bis auf Nicht-Unterscheidbarkeit durch \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}[B]={({[B]}_{t})}_{t\ge 0} & \text{mit} & {[B]}_{t}=t\end{array}\end{eqnarray}

gegeben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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