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Lexikon der Mathematik: Quadratwurzel

die zweite Wurzel aus einer reellen oder komplexen Zahl.

Ist a ∈ ℝ, a ≥ 0, so gibt es genau eine reelle Zahl x ≥ 0 mit x 2 = a. Man nennt x die Quadratwurzel von a und schreibt \(x=\sqrt{a}\).

Läßt man dagegen auch komplexe Zahlen zu, so kann man auf jede Einschränkung verzichten und aus jeder beliebigen komplexen Zahl z zwei Quadratwurzeln berechnen. Dazu schreibt man z in der Polarkoordinaten-Darstellung \begin{eqnarray}z=|z|\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )\end{eqnarray}

mit einem Winkel φ zwischen 0. und 360., und erhält dann die beiden Quadratwurzeln: \begin{eqnarray}{z}_{0}=\sqrt{|z|}\cdot \left(\cos \frac{\varphi }{2}+i\cdot \sin \frac{\varphi }{2}\right)\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{z}_{0}=\sqrt{|z|}\cdot \left(\cos \frac{\varphi +360^\circ }{2}+i\cdot \sin \frac{\varphi +360^\circ }{2}\right),\end{eqnarray}

wobei unter \(\sqrt{|z|}\) die reelle Quadratwurzel aus der reellen Zahl |z| zu verstehen ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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