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Lexikon der Mathematik: Quantengruppe

in der Physik manchmal ein Synonym für eine beliebige Hopf-Algebra, im engeren Sinne aber über die Deformation gewisser Funktionenalgebren definierte Struktur. Sie gehört als reich strukturiertes Objekt zum Themenkreis „Definition einer Quantisierung mit Hilfe von algebraischen Methoden“, der die für die Quantisierung charakteristische Nicht-Kommutativität auf natürliche Weise liefert. Entgegen der Bezeichnung ist eine Quantengruppe keine Gruppe.

Einige Details: Wir bezeichnen mit P[h] die Menge der formalen Potenzreihen in h. P gibt an, wem die Koeffizienten dieser Reihen angehören. Obwohl h ein Parameter ist, wird natürlich an das Plancksche Wirkungsquantum gedacht. \({\mathcal{A}}\) bezeichne eine beliebige assoziative Algebra. Dann ist eine Algebra-Deformation von \({\mathcal{A}}\) der ℂ[h]-Modul \({\mathcal{A}}\)[h] der formalen Potenzreihen in h mit Koeffizienten in \({\mathcal{A}}\), wenn die Multiplikation \begin{eqnarray}{m}_{h}(a\otimes b):=a* b:=ab+\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{h}^{k}{F}_{k}(a,b)\end{eqnarray}

mit gewissen Fk (a, b) aus \({\mathcal{A}}\) für alle a, b aus \({\mathcal{A}}\) auf \({\mathcal{A}}\)[h] ausgedehnt wird, und ih : ℂ[h] → \({\mathcal{A}}\)[h] die natürliche Ausdehnung der Einheit i von \({\mathcal{A}}\) auf \({\mathcal{A}}\)[h] ist.

Unter einer Poisson-Hopf-Algebra verstehen wir eine kommutative Hopf-Algebra \({\mathcal{A}}\), die zusätzlich eine Poisson-Struktur trägt: Es ist eine Lie-Klammer {,} : \({\mathcal{A}}\) × \({\mathcal{A}}\) → \({\mathcal{A}}\) gegeben, so daß für jedes c aus \({\mathcal{A}}\)\begin{eqnarray}{L}_{c}:{\mathcal{A}}\to {\mathcal{A}}\quad\text{mit}\quad a\to \{a,c\}\quad\text{und}\quad a\in {\mathcal{A}}\end{eqnarray}

eine Derivation ist. Hieran anschließend wird die Deformation einer Poisson-Hopf-Algebra definiert.

Nun sei G eine Lie-Gruppe und Fun(G) die Menge der C -Funktionen über G. Unter einer Drinfeld-Quantisierung verstehen wir dann den Übergang von der Poisson-Hopf-Algebra \begin{eqnarray}(\text{Fun}(G),m,i,\Delta, \varepsilon, S,\{,\})\end{eqnarray}

zu einer ℂ[h]-Hopf-Algebra \begin{eqnarray}({g}_{h},{m}_{h},{i}_{h},{\Delta }_{h},{\varepsilon }_{h},{S}_{h})\end{eqnarray}

mit folgenden Eigenschaften:

1. Ihre Faktorisierung nach (h𝒢h, mh, ih, 2 h, ϵh, Sh) ist isomorph zu (Fun(G), m, i, 2, ϵ, S).

2. Es gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\{a\,\text{mod}\,h,b\,\text{mod}\,h\}\\ \quad:=\displaystyle\frac{1}{h}({m}_{h}(a\otimes b)-{m}_{h}(b\otimes a))\,\mathrm{mod}\,h\end{array}\end{eqnarray}

für alle a, b ∈ 𝒢 h fällt mit {,} auf Fun(G) zusammen.

Diese Hopf-Algebra wird Quantengruppe genannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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