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Lexikon der Mathematik: Quantenkohomologie

eine Disziplin, die ihren Ursprung in der Physik hat (topologisches Sigma-Modell gekoppelt mit Gravitation). Hier wird nur der mathematische Inhalt skizziert.

Das Grundproblem ist das folgende: Gegeben sei eine glatte projektive algebraische Varietät über ℂ (oder allgemeiner eine kompakte symplektische Varietät), sowie eine Klasse A in H 2(V,ℤ) oder in A (V,ℤ) (algebraische Zyklen) und Zyklen Z 1,…,Zn auf V. Man betrachtet die Menge aller algebraischen Kurven C vom Geschlecht g mit [C] = A und CZi ≠ ∅, i = 1,…,n.

Die Gromov-Witten-Invarianten kann man sich zunächst anschaulich als die Anzahl solcher Kurven (zu gegebenen A, Z 1,…,Zn) denken. Sie sind in einigen speziellen Fällen in der Tat gerade solche Anzahlen (z. B. rationale Kurven von kleinem Grad, der hier der Klasse A entspricht, auf einer Hyperfläche fünften Grades in ℙ4).

Um zu einer genaueren Definition zu kommen, wird der folgende Modulraum 𝔐 g , n (V, A) konstruiert: 𝔐 g , n (V, A) klassifiziert Tupel (C, p 1,…,pn, f) aus einer algebraischen Kurve C vom Geschlecht g mit n ausgezeichneten, paarweise verschiedenen Punkten p 1,…,pnC, und einem Morphismus f : CV mit f ([C]) = A.

(\({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n}\) (V, A) klassifiziert auch noch gewisse Ausartungen solcher Tupel, um einen kompakten Raum zu erhalten: C darf gewöhnliche Doppelpunkte als Singularitäten haben, die pi sollen alle nichtsingulär sein, und so verteilt, daß (C, p 1,…,pn, f) nur endlich viele Automorphismen hat).

Dann hat man eine natürliche Abbildung

\begin{eqnarray}\begin{eqnarray}{\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n}\end{eqnarray}\end{eqnarray}

(X, A) ist \begin{eqnarray}3g-3+n+\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}{c}_{1}(V)+\dim (V)(1-g),\end{eqnarray}

was sich wie folgt ergibt: 3g − 3 + n ist die Zahl der Moduln von (C, p 1,…,pn) (Modulprobleme). Die Abbildung f ist durch ihren Graphen Γ fC × V bestimmt und definiert einen Punkt im Hilbert-Schema (Quot-Schema) von C × V. In einer Umgebung dieses Punktes sind die entsprechenden Unterschemata immer noch Graphen von Morphismen CV. Da H 0 f, N) (N ist das Normalenbündel von Γ in C × V) der Tangentialraum an das Hilbert-Schema ist, und für das Normalenbündel eines Graphen Nf Θ V gilt, ist nach der klassischen Riemann-Roch-Formel \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\dim {H}^{0}(C,N) & = & \begin{array}{l}\deg f^* \Theta V+rk(f^* {\Theta }_{V})(1-g)\end{array}\\ & & +\dim {H}^{1}({\Theta }_{V})\\ & = & \displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}{c}_{1}(V)+\dim (V)(1-g),\end{array}\end{eqnarray}

falls H 1 (C, f Θ V) = 0.

Varietäten V mit H 1 (C, f Θ V) = 0 für alle stabilen Kurven C vom Geschlecht 0 und f : CV heißen auch konvex. Dazu gehören z. B. die projektiven Räume, oder allgemeiner homogene algebraische Varietäten (unter einer linearen algebraischen Gruppe von Automorphismen).

Für derartige Varietäten X hat \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,n}(V,A)\) die erwartete Dimension und ist außerdem als algebraisches Stack glatt, und die obige Definition ist in der Tat korrekt.

Kontsevich und Manin haben folgende Axiome für Gromov-Witten-Klassen formuliert (die aus obiger „Definition“ folgen, falls die Modulräume glatt und von der erwarteten Dimension sind).

(GW0) Ig , n, A = 0, wenn A nicht effektiv ist (d. h., wenn A α = 0 für ein amples αH 2 (V)).

(GW1) \begin{eqnarray}{I}_{g,n,A}:{H}^{\ell }({V}^{n},{\mathbb{Q}})\to {H}^{q(\ell )}({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n,}{\mathbb{Q}})\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}g(\ell )=\ell -2\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}{c}_{1}(V)+2(g-1)\dim V\end{eqnarray}

(c 1(V) = ist die erste Chern-Klasse von V).

(GW2) Ig,n,A ist Sn-äquivariant bzgl. der Wirkung der Permutationsgruppe Sn auf Vn resp. \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n}\).

(GW3) Bei der natürlichen Abbildung \begin{eqnarray}{\pi }_{n+1}:{\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n+1}\to {\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n}\end{eqnarray}

( „vergessen“ des letzten Punktes) ist \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{I}_{g,n+1,k}\,({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n}\otimes {1}_{V})\\ ={\pi }_{n+1}^{* }{I}_{g,n,A}\,({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n}),\end{array}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{I}_{0,3,A}({\alpha }_{1}\otimes {\alpha }_{2}\otimes {1}_{V})=0\,\,\text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r}\,\,A\ne 0.\end{eqnarray}

(GW4) Wenn βH 2(V, ℚ) Klasse eines Divisors ist, so ist für A ≠ 0 \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{({\pi }_{n+1})}_{* }({I}_{g,n+1,A}\,({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n}\otimes \beta ))\\ =(\beta \cdot A){I}_{g,n,A}\,({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n}).\end{array}\end{eqnarray}

(GW5) Für A = 0, g = 0 (also konstante Abbildungen f : ℙ1V) ist \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{I}_{0,n,0}\,({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n})\\ =\left\{\begin{array}{l}\left(\displaystyle \int {\alpha }_{1}\wedge \cdots \wedge {\alpha }_{n}\right)\,\text{}1_{\overline{{\mathfrak{M}}}_{0,n}}\\ \quad\text{wenn}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\deg {\alpha }_{i}=2\dim V\\ 0\quad\text{sonst}\text{.}\end{array}\right.\end{array}\end{eqnarray}

(GW6) Für g = g 1 + g 2, n = n 1 + n 2, und die natürliche Abbildung natürliche Abbildung \begin{eqnarray}\phi :{\overline{{\mathfrak{M}}}}_{{g}_{1},{n}_{1}+1}\times {\overline{{\mathfrak{M}}}}_{{g}_{2,}{n}_{2}+1}\to {\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n}\end{eqnarray}

(die zwei Kurven in den jeweils letzten ausgezeichneten Punkten verheftet) gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\phi }^{* }({I}_{g,n,A}\,({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n}))\\ =\displaystyle \sum _{{A}_{1}+{A}_{2}=A}\displaystyle \sum _{v}{I}_{{g}_{1},n+1,{A}_{1}}({\alpha }_{1}\otimes \cdots \oplus {\alpha }_{{n}_{1}}\otimes {\Delta }_{v})\\ ={I}_{{g}_{2},{n}_{2}+1,{A}_{2}}\,({\alpha }_{{n}_{1}+1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n}\otimes {\Delta }^{v}),\end{array}\end{eqnarray}

wobei (Δ ν), (Δ ν) zueinander reziproke Basen bzgl. des Schnittproduktes auf H (V, ℚ) sind.

(GW7) Bei der natürlichen Abbildung \begin{eqnarray}\psi :{\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n+2}\to {\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g+1,n}\end{eqnarray}

(die die letzten beiden Punkte miteinander identifiziert) ist \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\psi }^{* }{I}_{g+1,n,A}\,({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n})=\\ ={I}_{g,n+2,A}\,({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n}\otimes [\Delta ]),\end{array}\end{eqnarray}

wobei [Δ] die zur Diagonale gehörige Kohomologie klasse in H∗(V, ℚ) ⊗ H∗(V, ℚ) ist.

(GW8) Es gibt Klassen \({C}_{g,n,A}^{V}\) im Chow-Ring von \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n}\times {V}^{n}\) mit \begin{eqnarray}{I}_{g,n,A}={p}_{* }({q}^{* }(\cdots )\cap {C}_{g,n,A}^{V})\end{eqnarray}

(p, q die Projektionen von \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n}\times {V}^{n}\) auf den ersten bzw. zweiten Faktor).

Zur Illustration dieser Axiome dient folgende Vorstellung: Wenn α 1,…,αn durch Untervarietäten Z 1,…,ZnV repräsentiert werden, so wird \begin{eqnarray}{I}_{g,n,A}\,({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n})\end{eqnarray}

durch das Bild π Zg , n (A) der Untervarietät \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{Z}_{g,n}(A) & = & \{(C,{p}_{1},\ldots, {p}_{n,}f)\in {\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g,n}(V,A)|\\ & & {f}_{* }([C])=A,f({p}_{j})\in {Z}_{j},\\ & & j=1,\mathrm{...},n\}\end{array}\end{eqnarray}

repräsentiert.

In Axiom (GW6) wird φ (Ig , n, A (α 1,…,αn)) repräsentiert durch die Summe der Bilder von \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{Z}_{{g}_{1},{n}_{1}+1}({A}_{1})\times {Z}_{{g}_{2},{n}_{2}+1}({A}_{2})\cap {({e}_{0},{e}_{0})}^{* }(\Delta )\\ =\{({C}_{1},{p}_{0},\ldots, {p}_{{n}_{1},}{f}_{1});({C}_{2},{q}_{0},\ldots, {q}_{{n}_{2}},{f}_{2});\\ {f}_{1}({p}_{0})={f}_{2}({q}_{0})\}\end{array}\end{eqnarray}

mit A 1 + A 2 = A.

Hierbei ist Δ ⊂ V × V die Diagonale, e 0 die Evaluierung der Abbildung f 1 (resp. f 2) in Punkte p 0 (resp. q 0). Da ΣΔ ν ⊗ Δ ν die Kohomologieklasse von Δ in \begin{eqnarray}{H}^{* }(V)\otimes {H}^{* }(V)={H}^{* }(V\times V)\end{eqnarray}

repräsentiert, wird Axiom (GW6) anschaulicher. Auf jeden Fall lassen sich solche Invarian-

ten korrekt definieren, entweder im Rahmen der algebraischen Geometrie durch Definition sog. virtueller Fundamentalklassen (Li-Tian, Behrend-Fantecchi), oder im Rahmen der symplektischen Geometrie durch Übergang zu generischen fast komplexen Strukturen, die verträglich mit der gegebenen symplektischen Struktur sind (Li-Tian, Siebert).

Die Gromov-Witten-Invarianten (für g = 0) ergeben Funktionen \begin{eqnarray}\langle {I}_{0,n,A}({\alpha }^{n})\rangle =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,n}}{I}_{0,n,A}(\alpha \otimes \cdots \otimes \alpha )\end{eqnarray}

auf H ev (V, ℂ) = H, und, zumindest formal, durch Zusammenfassung eine Funktion, das Gromov-Witten-Potential \begin{eqnarray}\phi (\alpha )=\displaystyle \sum _{n\ge 3}\displaystyle \sum _{A\in {H}_{2}(V,{\mathbb{Z}})}\frac{1}{n!}\langle {I}_{0,n,A}({\alpha }^{n})\rangle {q}^{A}.\end{eqnarray}

Hierbei ist \begin{eqnarray}{q}^{A}=\exp \left(2\pi i\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}\varphi \right),\end{eqnarray}

φ eine geschlossene 2-Form auf V, deren Imaginärteil eine Kählerform ist.

Um Supermannigfaltigkeiten zu vermeiden, beschränken wir uns hier auf die Kohomologie in geraden Graden \begin{eqnarray}{H}^{* ev}(V,{\mathbb{C}})={H}^{0}\otimes {H}^{2}\otimes {H}^{4}\otimes \cdots.\end{eqnarray}

Die Frage der Konvergenz kann nur in bestimmten Klassen von Beispielen, z. B. konvexen Mannigfaltigkeiten oder Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten (c 1 (X) = 0) geklärt werden. Ist \begin{eqnarray}\langle {I}_{0,n,A}({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n})\rangle \ne 0\end{eqnarray}

und deg αi = 2mi, so muß nach Axiom (GW 1) gelten \begin{eqnarray}{m}_{1}+\cdots +{m}_{n}=n+\dim (V)-3+\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}{c}_{1}(V)\end{eqnarray}

bzw. \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}{c}_{1}(V)=\displaystyle \sum _{v=1}^{n}({m}_{v}-1)-(\dim (V)-3).\end{eqnarray}

Beispielsweise ist für konvexe Varietäten V das Bündel f Θ V direkte Summe von Geradenbündeln nichtnegativen Grades auf C = ℙ1 (f : ℙ1V) und Θ Cf Θ V ( falls f nicht konstant ist, also \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}{c}_{1}(V)=\deg ({f}^{* }{\Theta }_{V})\ge 2),\end{eqnarray}

daher gibt es zu gegebenen α 1 ⊗ · · · ⊗ αn nur endlich viele A mit \begin{eqnarray}\langle {I}_{0,n,A}\,({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n})\rangle \ne 0.\end{eqnarray}

In diesem Fall ist φ zumindest als formale Potenzreihe \((\in {\hat{{\mathcal{O}}}}_{H,0}={\mathbb{C}}||{t}_{0},\ldots, {t}_{N}||,)\), wenn (t 0,…,tN) ein lineares Koordinatensystem auf H ist) definiert. Sei also M das formale Schema \({\hat{H}}_{0,}\), oder eine Umgebung von 0 in H, auf der φ konvergent ist. Dann ist M eine Frobenius-Mannigfaltigkeit mit φ als Potential. Die Tangentialgarbe ist 𝒪 MH mit der kanonischen flachen Struktur, die quadratische Struktur ist durch das Schnittprodukt auf H, d. h. durch \begin{eqnarray}g(\alpha, \beta )=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{V}(\alpha \cup \beta ),\end{eqnarray}

gegeben, das neutrale Element durch \begin{eqnarray}e=1\in {H}^{0}(V,{\mathbb{C}})={\mathbb{C}}.\end{eqnarray}

Das Vektorfeld, das bei der Identifizierung Θ M = 𝒪 MH durch \begin{eqnarray}E=\displaystyle \sum _{v}\left(1-\frac{\deg ({\Delta }_{v})}{2}\right){x}_{v}{\Delta }_{v}+{c}_{1}(V)\end{eqnarray}

(mit einer Basis (Δ ν) von H = H 0H 2 ⊕ · · · aus homogenen Elementen und dem zugehörigen Koordinatensystem \(\alpha =\displaystyle \sum {x}_{v}{\Delta }_{v}\mapsto ({x}_{v}))\) definiert wird, ist ein Eulerfeld (Frobenius-Mannigfaltigkeit). Die Garbe von kommutativen assoziativen 𝒪 M-Algebren, die globalen Schnitte, also \begin{eqnarray}{{\mathcal{O}}}_{M}(M)\otimes H={H}^{* ev}(V,{{\mathcal{O}}}_{M}(M))\end{eqnarray}

mit diesem Produkt, ist die Quantenkohomologie von V.

Für flache Vektorfelder, d. h. für α, βH, ist das Produkt durch \begin{eqnarray}g(\alpha\, \,{\unicode {x003BF}}\,\beta \text{,}\gamma )=\gamma \alpha \beta (\phi )\end{eqnarray}

für alle γH gegeben (auf der rechten Seite sind also α, β, γ als Richtungsableitungen zu verstehen), oder, durch eine Basis (Δ ν) ausgedrückt, \begin{eqnarray}g({\Delta }_{\mu }\,{\unicode {x003BF}}\,{\Delta }_{v},{\Delta }_{\lambda })=\frac{{\partial }^{3}\varphi }{\partial {x}_{\lambda }\partial {x}_{\mu }\partial {x}_{v}}\end{eqnarray}

bzw. \begin{eqnarray}{\Delta }_{\mu }\,{\unicode {x003BF}}\,{\Delta }_{v}=\displaystyle \sum _{\lambda }\frac{{\partial }^{3}\varphi }{\partial {x}_{\lambda }\partial {x}_{\mu }\partial {x}_{v}}{\Delta }^{\lambda },\end{eqnarray}

wobei (Δ λ) die zu (Δ ν) reziproke Basis (bzgl. g) bezeichnet. Wichtig an dieser Betrachtungsweise ist, daß φ die sog. WDVV-Gleichung erfüllt (als Ausdruck des Assoziativgesetzes). Hieraus ergeben sich rekursive Relationen zwischen den GW-Invarianten, die u. a. neue Ergebnisse der abzählenden Geometrie liefern.

Beispiele:

1) Für V = ℙ r besitzt H eine Basis Δ0 = 1 V, Δ1,…,Δ r, und jeder lineare Unterraum der Kodimension j repräsentiert die Kohomologie-Klasse Δ j.

Sei H 2 (V,ℤ) = ℤ[], []-Klasse einer Geraden. Für a > 0 und m 1 ≤ · · · ≤ mn ist nach den Axiomen \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\langle {I}_{0,n,a[\ell ]}({\Delta }_{{m}_{1}}\otimes \cdots \otimes {\Delta }_{{m}_{n}})\rangle \\ =\left\{\begin{array}{l}0\,\,\text{falls}\,{m}_{1}=0\\\quad \text{oder}\,{m}_{1}=\cdots ={m}_{n-2}=1\\ {a}^{p}\langle {I}_{0,n-p,a}\left({\Delta }_{{m}_{p+1}}\otimes \cdots \otimes {\Delta }_{{m}_{n}}\right)\rangle \\\qquad \text{falls}\,p\le n-3,{m}_{1}=\cdots ={m}_{p}=1\\\qquad \text{und}\,{m}_{p+1}\gt 1.\end{array}\right.\end{array}\end{eqnarray}

Sei \begin{eqnarray}N({a}_{1},{\mu }_{2},\cdots, {\mu }_{r})=\langle {I}_{0,m,a\{\ell \}}({\Delta }_{2}^{\otimes {\mu }_{2}}\otimes \cdots \otimes {\Delta }_{r}^{\otimes {\mu }_{r}})\rangle \end{eqnarray}

für m = μ 2 + · · · + μr ≥ 3 und \begin{eqnarray}2{\mu }_{2}+3{\mu }_{3}+\cdots +r{\mu }_{r}=(r+1)(a+1)+m-4.\end{eqnarray}

Dies ist die Anzahl der rationalen Kurven vom Grad a, die μj gegebene lineare Unterräume in allgemeiner Lage schneiden, j = 2,3,…r.

Mit diesen Bezeichnungen ist also für \begin{eqnarray}\Delta ={x}_{0}{\Delta }_{0}+{x}_{1}{\Delta }_{1}+\cdots +{x}_{r}{\Delta }_{r}\end{eqnarray}

und \(p=\displaystyle {\int }_{[\ell ]}\varphi \), \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n\ge 3}\frac{1}{n!}\langle {I}_{0,n,a\{\ell \}}({\Delta }^{n})\rangle {q}^{a\{\ell \}}={e}^{a({x}_{1}+p)}{\varphi }_{a}({x}_{2},\ldots, {x}_{r})\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}{\phi }_{a}=\displaystyle \sum _{{\mu }_{2},\ldots, {\mu }_{r}}N({a}_{1},{\mu }_{2},\ldots, {\mu }_{r}){\frac{{x}_{2}}{{\mu }_{2}!}}^{{\mu }_{2}}\cdots {\frac{{x}_{r}}{{\mu }_{r}!}}^{{\mu }_{r}},\end{eqnarray}

wobei über alle (μ 2,…,μr) mit μ 2 + · · · + μ 3 ≥ 3 und μ 2 + 2μ 3 + · · · + (r − 1)μr = (a + 1)(r + 1)− 4 summiert wird.

Für A = 0 liefert nur I 0,3,03) einen Beitrag, nämlich \begin{eqnarray}\langle {I}_{0,3,0}({\Delta }^{3})\rangle =6\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}i\lt j\lt k\\ i+j+k=r\end{array}}{x}_{i}{x}_{j}{x}_{k}+3\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}i,j\\ 2i+j=r\end{array}}{x}_{i}^{2}{x}_{j}.\end{eqnarray}

Somit ist das Gromov-Witten-Potential für ℙ r die Funktion \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\phi ({x}_{0},\ldots, x)={\phi }_{0}({x}_{0},\ldots, {x}_{r}+\\\qquad \text{}\displaystyle \sum _{a\ge 1}\exp (a({x}_{1}+p)){\phi }_{1}({x}_{2},\ldots, {x}_{r})\end{array}\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}{\phi }_{0}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}i\lt k\lt k\\ i+j+k=r\\ \text{falls}\,r=3k,\end{array}}{x}_{i}{x}_{j}{x}_{k}+\frac{1}{2}\displaystyle \sum _{2i+j=r}{x}_{i}^{2}{x}_{j}+\frac{1}{6}{x}_{k}^{3}\\ \displaystyle \sum _{\begin{array}{c}i\lt j\lt k\\ j+j+k=r\\ \text{sonst}\text{.}\end{array}}{x}_{i}{x}_{j}{x}_{k}+\frac{1}{2}\displaystyle \sum _{2i+j=r}{x}_{i}^{2}{x}_{j}\end{array}\right.\end{eqnarray}

2) Es sei V ⊂ ℙ4 eine Hyperfläche vom Grad 5.

Hier ist c 1 (V) = 0, also ist die erwartete Dimension von \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,n}(V,A)\) gleich n − 3 + 3 = n, und dementsprechend ist 3 die erwartete Dimension der Fasern von \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,n}(V,A)\to {\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,n,}\), d. h., bis auf Reparametrisierung der Abbildung \(C\mathop{\to }\limits^{f}V\) ist die rationale Kurve virtuell starr. Daher ist \begin{eqnarray}\langle {I}_{0,n,A}({\alpha }_{1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{n})\rangle =0,\end{eqnarray}

außer wenn α 1,…,αn Divisorenklassen sind. Nach dem Lefschetz-Theorem über Hyperebenenschnitte wird H von Δ0 = 1, Δ1, Δ2, Δ3 (den Einschränkungen der entsprechenden Klassen von ℙ4) erzeugt, und für Δ = x 0 Δ0 + x 1 Δ1 + x 2 Δ2 + x 3 Δ3 ist \begin{eqnarray}\langle {I}_{0,n,A}({\Delta }^{n})\rangle ={x}_{1}^{n}{\left(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}{\Delta }_{1}\right)}^{n-3}\langle {I}_{0,3,A}({\Delta }_{1}^{\otimes 3})\rangle \end{eqnarray}

(nach GW 4).

Mit a = deg(A) = ∫ A Δ1 ist dann \begin{eqnarray}\langle {I}_{0,n,A}({\Delta }^{n})\rangle ={(a{x}_{1})}^{n}N(a),\end{eqnarray}

wobei N(a) die virtuelle Anzahl von rationalen Kurven vom Grad a auf V ist. Eine Definition dieser Zahlen ergibt sich aus folgendem Schema: \begin{eqnarray}\begin{array}{c}{\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,1}({{\mathbb{P}}}^{\text{4}},A)\mathop{\to {{\mathbb{P}}}^{\text{4}}}\limits^{e}\\ \downarrow \pi \\ {\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,0}({{\mathbb{P}}}^{\text{4}},A)\end{array}\end{eqnarray}

Die Gleichung F einer Quintik V liefert einen Schnitt des Bündels \begin{eqnarray}{\pi }_{* }({e}^{* }{\mathcal{O}}(5))={\mathcal{E}} \end{eqnarray}

vom Rang 5a + 1 (a = deg(A)), dessen „Nullstellenschema“ \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,0}(V,A)\) ist. Daher ist die Chern-Klasse c 5a+1 (ℰ) = N(a) (Porteous-Formel), und wenn \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,0}(V,A)\) endlich ist, ist dies tatsächlich die Anzahl der Punkte in \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,0}(V,A)\).

Die „Modulräume“ \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,0}({{\mathbb{P}}}^{\text{4}},A)\) und \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,1}({{\mathbb{P}}}^{\text{4}},A)\) existieren als algebraische Stacks, damit ist die Begründung gerechtfertigt. Allerdings liefert z. B. jeder Morphismus vom Grad k, ϕ : ℙ1 → ℙ1 und jeder Morphismus vom Grad d, f : ℙ1V einen neuen Morphismus f. ϕ : ℙ1V vom Grad a = dk, sodaß \begin{eqnarray}{\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,0}({{\mathbb{P}}}^{\text{1}},k)\subseteq {\overline{{\mathfrak{M}}}}_{0,0}(V,A),\end{eqnarray}

wenn k | a. Die Schnitt-Theorie liefert dann die Formel \begin{eqnarray}N(\alpha )=\displaystyle \sum _{\alpha =kd}{k}^{-3}{{n}{^{\prime} }}_{d},\end{eqnarray}

wobei n d tatsächlich die Anzahl rationaler Kurven vom Grad d auf V ist, wenn diese Anzahl endlich ist.

Zunächst wurde vermutet (Clemens 1983), daß für generische Quintiken V die Anzahl rationaler Kurven gegebenen Grades d auf V endlich ist, und daß jede dieser Kurven glatt ist. Letzteres hat sich als falsch erwiesen (Vainsencher 1995).

Für d ≤ 9 ist bewiesen, daß die Anzahl nd glatter Kurven auf V endlich ist (z. B. ist nd = 2875, 609250, 317206375, 242467530000 für d = 1,2,3,4. Diese Werte stimmen mit denen aus physikalischen Berechnungen (Mirror-Symmetrie) überein.

Für das Gromov-Witten-Potential einer Quintik V ergibt sich also (bis auf Terme vom Grad ≤ 2) \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\phi ({x}_{0},{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}) & = & \displaystyle\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}{x}_{3}+5{x}_{0}{x}_{1}{x}_{3}+\displaystyle\frac{5}{6}{x}_{1}^{3}\\ & & +\displaystyle \sum _{a\ge 1}N(a)\exp.(a({x}_{1}+p)).\end{array}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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