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Lexikon der Mathematik: Quantenmaß

Maß μ in der konstruktiven (euklidischen) Quantenfeldtheorie, das bestimmten Bedingungen genügen muß.

Es sei \({\mathcal{S}}\)(ℝ n) der Vektorraum der C -Funktionen auf dem ℝ n, die für jedes ganze p ≥ 0 und den Multiindex j die Bedingungen \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{x\in {\text{R}}^{n}}{(1+|x{|}^{2})}^{p}|{D}^{j}f|\le {M}_{pj}\end{eqnarray}

erfüllen, wobei die Konstanten Mjp von f, p und j abhängen. \({\mathcal{S}}\)′ (ℝ n) ist der zu \({\mathcal{S}}\)(ℝ n) duale Raum der „im Unendlichen nicht zu schnell wachsenden Distributionen“. (\({\mathcal{S}}\)′ (ℝ n), \({\mathcal{B}}\)) sei ein Maßraum, wobei die σ-Algebra \({\mathcal{B}}\) durch zylindrische Mengen erzeugt wird. μ soll nun folgenden Bedingungen genügen:

1. μ ist invariant gegen die mit der Einheit verbundene Komponente der Bewegungen im als euklischen Raum aufgefaßten ℝ n.

2. Φ(f)ist ein durch Φ(f)(ω) = ω(f)auf (\({\mathcal{S}}\)′, \({\mathcal{B}}\), μ) gegebenes verallgemeinertes Zufallsfeld (ω ∈ \({\mathcal{S}}\)′, f ∈ \({\mathcal{S}}\)). Für eine beliebige Funktion F auf \({\mathcal{S}}\)′ wird F Θ(ω) = F(ω Θ) definiert, wobei ω Θ(f) = ω(f Θ) und \begin{eqnarray}{f}_{\Theta }({x}^{1},\ldots, {x}^{n})=f({x}^{1},\ldots, -{x}^{n}).\end{eqnarray}

Die σ-Algebra \({\mathcal{B}}\)+ wird durch die Funktionen Φ(f) mit supp f ⊂ {x ∈ ℝ n, xn > 0} erzeugt. Dann wird gefordert: \begin{eqnarray}\displaystyle \int {\overline{F}}_{\Theta }(\omega )F(\omega )d\mu (\omega )\ge 0.\end{eqnarray}

3. Auf \({\mathcal{S}}\) wird die Existenz einer Norm mit der Eigenschaft gefordert, daß \(\displaystyle \int {e}^{\Phi (f)}d\mu \) bezüglich dieser Norm auf \begin{eqnarray}\{f:f\in S,||f||\le 1\}\end{eqnarray}

gleichmäßig beschränkt und stetig ist.

4. Die Untergruppe der Translationen muß ergodisch wirken.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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