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Lexikon der Mathematik: quantenmechanische Gesamtheiten

,,große“ Mengen von identischen Systemen, die den Gesetzen der Quantentheorie folgen und voneinander unabhängig sind.

Im einfachsten Fall sind die Systeme Teilchen wie die „Elementarteilchen“ (z. B. Elektronen, Protonen) oder Atome. Die Gesamtheiten werden durch makrophysikalische Systeme erzeugt. Mit jedem Element der Gesamtheit wird ein Experiment ausgeführt. z. B. wird ein Elektron auf ein Atom gelenkt und die Ablenkung festgestellt. Da das Experiment das System im allgemeinen verändert, kann es nicht noch einmal für die Ausführung des gleichen Versuchs verwendet werden. Deshalb ist es wichtig, eine große Zahl identischer Systeme zu haben, die nicht in Wechselwirkung miteinander stehen, um das gleiche Experiment hinreichend oft wiederholen zu können.

Man spricht von einer reinen Gesamtheit, wenn die Wahrscheinlichkeit für die Messung eines Wertes durch das Quadrat der Zustandsfunktion gegeben wird. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit durch \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{N\to \infty }\frac{{N}_{k}}{N}\end{eqnarray}

definiert, wobei N die Zahl der Systeme in der Gesamtheit und Nk die Zahl der Experimente ist, die einen bestimmten Wert geliefert haben. N gilt dann als groß genug, wenn sich die Wahrscheinlichkeit mit wachsendem N nicht mehr wesentlich ändert. Eine reine Gesamtheit ist z. B. ein hinreichend verdünnter Elektronenstrahl, dessen Teilchen alle den gleichen Impuls haben.

Eine Gesamtheit kann aber auch eine Mischung von reinen Geamtheiten sein, wobei man nur weiß, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die einzelnen reinen Gesamtheiten in der Mischung auftreten. Eine solche Gesamtheit wird gemischte Gesamtheit genannt. In diesen Fall ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für ein jetzt zusammengesetztes Ereignis aus der Summe von Produkten, wobei der eine Faktor die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der die reine Gesamtheit auftritt, und der andere die Wahrscheinlichkeit dafür ist, den Wert an einem System zu messen, das einer reinen Gesamtheit angehört. Letzterer ist wieder durch das Quadrat der Wellenfunktion, die zur reinen Gesamtheit gehört, bestimmt.

Ein Beispiel für eine gemischte Gesamtheit ist eine dünne Elektronenwolke, die aus einem auf eine bestimmte Temperatur aufgeheizten Glühdraht austritt. In dieser Wolke sind Elektronen mit einem bestimmten Impuls mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit enthalten. Gemischte Gesamtheiten werden nicht mit einer Wellenfunktion, sondern mit dem Dichteoperator beschrieben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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