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Lexikon der Mathematik: Quantenstatistik

Statistik, die auf den Prinzipien der Quantenmechanik beruht.

Das bedeutet einmal, daß die ungenaue Kenntnis von beobachtbaren Größen, die auch schon der klassischen Statistik zugrunde liegt, Berücksichtigung findet, und zweitens, daß die für die Quantenmechnik charakteristische gleichzeitige Unbestimmtheit von Observablen, die nicht miteinander kommutieren (Heisenbergsche Unschärferelation), beachtet wird.

Eine Besonderheit der Quantenstatistik ist es, daß die Anzahl der Mikrozustände von quantenmechanischen Gesamtheiten kleiner ist als in der klassischen Statistik, weil Teilchen, die sich im gleichen Zustand befinden, nicht unterschieden werden können.

In der klassischen Statistik gibt die Verteilungsfunktion f (q, p) der Koordinaten und Impulse die Wahrscheinlichkeit dafür an, ein Teilchen in einem Phasenraumvolumen dqdp um den Punkt mit den Phasenraumkoordinaten q, p zu finden. Wegen der Heisenbergschen Unschärferelation kann eine solche Aussage nur noch entweder für den Ort oder für den Impuls gemacht werden.

An die Stelle der Verteilungsfunktion der klassischen Statistik tritt in der Quantenstatistik eine Größe, die eng mit dem Dichteoperator e zusammenhängt: Die Funktionen ψp (q) sollen Teilchen in der Ortsdarstellung beschreiben, deren Impulse genau bekannt sind. Damit wird die Größe I(q, p) := \({\psi }_{p}^{* }(q)\hat{{e}}{\psi }_{p}(q)\) gebildet. Dann ist die Wahrscheinlichkeit dwq, ein Teilchen in dq um q zu finden, gleich \begin{eqnarray}dq\displaystyle \int I(q,p)dp.\end{eqnarray}

Die Wahrscheinlichkeit dwp, ein Teilchen in dp um p zu lokalisieren, ist entsprechend \begin{eqnarray}dp\displaystyle \int I(q,p)dq.\end{eqnarray}

I(q, p) kann aber nicht als Wahrscheinlichkeitsverteilung für Ort und Impulse gleichtzeitig betrachtet werden. Diese Beziehungen haben in der klassischen Statistik die gleiche Form.

Neben I(q, p) gibt es andere Größen, die das gleiche leisten. Beispielsweise wurde von E. Wigner die nach ihm benannte Funktion \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{I}_{W}(q,p) & := & \displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}e(q+\xi /2,q-\xi /2).\\ & & \cdot {\psi }^{* }(q+\xi /2)\psi (q-\xi /2)d\xi \end{array}\end{eqnarray}

eingeführt. Dabei ist ϱ(q 1, q 2) die Koordinatendarstellung des Dichteoperators. Diese Funktion ist zwar reell, nimmt aber auch negative Werte an und kann schon deshalb nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte dienen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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