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Lexikon der Mathematik: Quantenstochastik

Ansätze, um die Resultate der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie aus der klassischen Mechanik und Feldtheorie, ergänzt durch einen bestimmten klassischen stochastischen Prozeß, abzuleiten.

Schon lange ist die Ähnlichkeit zwischen der Schrödinger-Gleichung und der Diffusionsgleichung für die Brownsche Bewegung eines Teilchens bekannt: Durch die Ersetzungen von t durch −it und \(\frac{\hslash }{2m}\) durch α (ħ ist das normierte Plancksche Wirkungsquantum, m die Masse des Brownschen Teilchens und α die Diffusionskonstante) wird die Schrödinger-Gleichung in die Diffusionsgleichung transformiert. Diese Beziehung deutet auf einen Zusammenhang von Quantentheorie und Stochastik hin.

Mit dem Ansatz \begin{eqnarray}\psi =|\psi |\exp \left[\frac{i}{\hslash }S\right],\quad{\bf p}=\text{grad}S\end{eqnarray}

wurde 1952 von Bohm die Schrödinger-Gleichung in die Newtonsche Gleichung \begin{eqnarray}\frac{d\text{p}}{dt}=-\text{grad}(V+{V}_{Q})\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}{V}_{Q}=-\frac{{\hslash }^{2}}{2m|\psi |}\Delta |\psi |\end{eqnarray}

umgeschrieben und −gradVQ als klassische Zufallsgröße interpretiert, die ihren Ursprung in einer Wechselwirkung mit einem unbeobachtbaren „Äther“ habe. Quantenstochastik ist im wesentlichen die Umkehrung dieses Weges.

Es gibt dafür verschiedene Versuche. Am umfassendsten ist die auf Arbeiten von Parisi und Wu fußende stochastische Quantisierung ausgearbeitet. Dabei werden die Gleichungen der klassischen Physik durch einen Wiener-Markow-Prozeß mit Gaußschem weißem Rauschen ergänzt. Jedoch ist die „Zeit“ dieses Prozesses nicht mit der physikalischen Zeit identisch, vielmehr ergeben sich die Gleichungen der Quantenphysik durch den Übergang zum Gleichgewicht in dieser fiktiven Zeit.

Es wird auch die Frage diskutiert, ob die Quantenstochastik nur eine der verschiedenen Quantisierungsmethoden ist, oder ob sie eine Erweiterung darstellt, die die Quantentheorie enthält.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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