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Lexikon der Mathematik: Quantil

Begriff aus der Statistik.

Unter dem α-Quantil xα einer Verteilungsfunktion F(x)einer stetigen Zufallsgröße X versteht man den Wert, der folgende Gleichung erfüllt: \begin{eqnarray}F({x}_{\alpha })=\alpha.\end{eqnarray}

Das bedeutet, xα teilt den Wertebereich von X in zwei Teile, so, daß gerade α ∗ 100% aller Beobachtungen von X links von xα liegen, also kleiner oder gleich xα sind, und (1 − α) ∗ 100% rechts von xα liegen, also größer oder gleich xα sind. Abbildung 1 zeigt links ein Quantil mit Verteilungsdichte, rechts Quantil und Verteilungsfunktion.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Quantil
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Abbildung 1: Quantile von stetigen Verteilungen

Ist X eine diskrete Zufallsgröße mit dem Wertebereich 𝔛 = {a 1,…,ak} und der Wahrscheinlichkeitsverteilung pi = P(X = ai), i = 1,…,k, so ist die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) eine Treppenfunktion, und das Quantil xα wie folgt definiert: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}F({x}_{\alpha }-\varepsilon )\lt \alpha \le F({x}_{\alpha }) & \text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r}\,{\text {alle}}\,\,\varepsilon \gt 0.\end{array}\end{eqnarray}

Abbildung 2 zeigt auch hierzu ein Beispiel.

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Quantil
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Abbildung 2: Quantile von diskreten Verteilungen

Das 50%-Quantil x 0,5 nennt man Median, die Quantile x 0,25 und x 0,75 werden als Quartile, und die Quantile xα für α = 0,1; 0,2;…; 0,9 als Dezentile bezeichnet.

Liegt eine Stichprobe von X vor, so liefert das empirische Quantil eine Schätzung für das α-Quantil einer Verteilung. Liegen die Beobachtungen in Form einer Klasseneinteilung vor, so wird das Quantil mit Hilfe der Klassenhäufigkeiten geschätzt.

Quantile spielen eine besondere Rolle bei der statistischen Analyse und beim Vergleich von Verteilungen, siehe auch Box-Plot, Q-Q-Plot. Quantile von wichtigen häufig verwendeten Verteilungen liegen in statistischen Tafelwerken tabelliert vor.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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