der Übergang von klassischen Theorien (das Minimum des Betrages von Grö-ßen mit der Dimension Wirkung ist gleich Null) zu den entsprechenden Quantentheorien (das Minimum des Betrages von Größen mit der Dimension Wirkung ist positiv (Plancksches Wirkungsquantum)).

Für diesen Übergang gibt es kein allgemeines Verfahren, das in einer gewissen Abbildung von klassischen Observablen auf selbstadjungierte Operatoren in einem Hilbertraum bestehen sollte. Vielmehr besteht folgender Sachverhalt:

Es wäre naheliegend, eine Abbildung von klassischen Observablen f (Funktionen auf dem dualen Tantentialbündel T ^∗ℝ ⁿ des ℝ ⁿ, dessen Koordinaten die kanonisch konjugierten Variablen q (und p_i sind) auf selbstadjungierte Operatoren \(\hat{f}\) des Hilbertraums L ² (ℝ ⁿ) der quadratintegrablen Funktionen über dem ℝ ⁿ eine Quantisierung zu nennen, wenn sie folgende Bedingungen erfüllte:

1. \(\hat{f+g}=\hat{f}+\hat{g},\)
2. \(\hat{\lambda f}=\lambda \hat{f}\text{mit}\lambda \in {\mathbb{R}},\)
3. \(\hat{\{f,g\}}=\frac{1}{i}[\hat{f},\hat{g}]\) mit der Poisson-Klammer {.,.} und dem Kommutator [.,.], die Plancksche Konstante ist auf 1 normiert),
4. \(\hat{1}=I\) (Einheitsoperator),
5. \({\hat{q}}^{i},{\hat{p}}_{j}=\frac{1}{i}\frac{\partial }{\partial {q}^{j}}\) wirken irreduzibel auf L ²(ℝn).

Schon 1951 hat van Hove gezeigt, daß eine so definierte Quantisierung nicht existiert.

Vor diesem Hintergrund versucht man, als Quantisierung eine algebraische Struktur zu finden, deren Elemente i. allg. nicht kommutativ verknüpft werden. Außerdem muß eine Operation zwischen Elementen existieren, die auf reelle Zahlen führt. Die Eigenschaften dieser Struktur werden durch Forderungen aus der Physik vorgeschrieben. Es ist dann die Frage, ob zu einer solchen Struktur eine klassische Theorie im Sinne eines Limes für „Plancksches Wirkungsquantum gegen Null“ existiert.

Es besteht eine Hoffnung, daß nicht kommutative Geometrien eine Verbindung zwischen Quantentheorien und allgemeiner Relativitätstheorie herstellen können.