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Lexikon der Mathematik: Quantisierungsbedingung

bei der Wentzel-Kramers-Brioullin-Jeffreys-Methode eine Näherung des Spektrums eines Schrödinger-Operators \(\hat{H}\) auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, die hier der Einfachheit halber nur für M = ℝ angegeben wird:

Man nehme an, daß das führende Symbol \begin{eqnarray}H:{T}^{* }{\mathbb{R}}={{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\end{eqnarray}

von \(\hat{H}\) für alle E in einem passenden reellen Intervall geschlossene reguläre Energiehyperflächen H −1 (E) ⊂ ℝ2 habe, die durch den Einheitskreis parametrisiert werden: \begin{eqnarray}({q}_{E},{p}_{E}):{S}^{1}\to {H}^{-1}(E).\end{eqnarray}

Dann lautet die Maslovkorrigierte Quantisierungsbedingung nach Bohr-Sommerfeld: \begin{eqnarray}S(E):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{S}^{1}}{p}_{E}(\phi )\frac{d{q}_{E}}{d\phi }(\phi )d\phi =2\pi \hslash \left(n+\frac{1}{2}\right)\end{eqnarray}

Diese Bedingung liefert reelle Zahlen En, die eine asymptotische Näherung für ħ → 0 des diskreten Spektrums des Operators \(\hat{H}\) beschreiben können.

Es gibt analoge, aber kompliziertere Formeln für höherdimensionales M. Die Näherung ist exakt für den Harmonischen Oszillator und ergibt \begin{eqnarray}{E}_{n}=\hslash \left(n+\frac{1}{2}\right).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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