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Lexikon der Mathematik: Quantor

Grundzeichen des Prädikatenkalküls oder elementarer Sprachen zur Bezeichnung der Quantifizierungsfunktion, die jedem logischen Ausdruck (in der Regel mit freien Variablen) der zugrundegelegten Sprache einen weiteren Ausdruck der Sprache zuordnet.

Im klassischen zweiwertigen Prädikatenkalkül werden der Existenzquantor „es gibt ein…“ und der Allquantor „für jedes…“ benutzt. Im praktischen Umgang verwendet man diese Quantoren oft als eingeschränkte Quantoren: Ist z. B. M eine durch den Ausdruck φ(x) definierte Teilmenge (definierbare Mengen sind definierbare einstellige Relationen) des betrachteten Individuenbereiches, dann schreibt man für den Ausdruck ∀x (φ(x) → ψ) auch ∀xM ψ und für ∃x (φ(x) ∧ ψ) auch ∃xM ψ (die Quantoren sind auf die Teilmenge M eingeschränkt).

Praktische Anwendung findet diese Schreibweise z. B. bei der Formulierung der Stetigkeit einer Funktion f an einer Stelle a: \begin{eqnarray}\forall \varepsilon \gt 0\exists \delta \gt 0\forall x\in D(f)(|x-a|\lt \delta \to |f(x)-f(a)\lt \varepsilon |.)\end{eqnarray}

Neben den klassischen Quantoren (Existenzund Allquantor) werden auch sog. verallgemeinerte Quantoren verwendet, die die Existenz höchstens endlich vieler bzw. unendlich vieler oder sogar überabzählbar vieler Elemente mit bestimmten Eigenschaften fordern. Ist κ eine unendliche Kardinalzahl und ϕ(x) ein Ausdruck, dann wird Qκx ϕ(x) interpretiert als „es gibt κ (viele) Elemente, die den Ausdruck ϕ(x) erfüllen“.

Elementare Sprachen mit verallgemeinerten Quantoren, zu denen man auch noch solche Quantoren zählen kann, die sich auf mehrere Ausdrücke beziehen, wie z. B. Qx(φ(x), ψ(x)), interpretiert als „es gibt genauso viele Elemente, die den Ausdruck φ(x) erfüllen, wie es Elemente gibt, die den Ausdruck ψ(x) erfüllen“, besitzen eine stärkere Ausdrucksfähigkeit als elementare Sprachen, aber für diese erweiterten Sprachen gelten grundlegende Sätze der Prädikatenlogik nicht mehr, was ihren praktischen Nutzen einschränkt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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